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mesure image / théorème de transfert

Posté par
romu 16-12-07 à 01:47

Bonsoir je bloque sur cet exercice:

Citation :
Soient (E,\mathcal{A},\mu) un espace mesuré, (F\mathcal{B}) un espace mesurable et h:E\rightarrow F une fonction \mathcal{A}-\mathcal{B} mesurable.

1) Montrer que, pour toute f\in \overline{\mathcal{M}^+}(F,\mathcal{B}),

3$\Bigint_E (f\circ h)\ d\mu = \Bigint_F f\ d(\mu\circ h^{-1}).\qquad (1)

3) Déterminer \mathcal{L}^1(F,\mathcal{B}, \mu\circ h^{-1}) en fonction de \mathcal{L}^1(E,\mathcal{A},\mu) et de h.
Montrer que (1) perdûre sur cet espace.


4) Montrer que si 3$h=\Bigsum_{i\in I} a_i \mathbb{1}_{\{h=a_i\}}\in \mathcal{S}(E,\mathcal{A}), on a

3$\mu\circ h^{-1} = \Bigsum_{i\in I} \mu(\{h=a_i\})\ \delta_{a_i}


Pour les notations:

\overline{\mathcal{M}^+}(F,\mathcal{B})=\{f: (F,\mathcal{B})\rightarrow ([0,+\infty],\mathcal{B}([0,+\infty]):\ f \mbox{ mesurable }\}

\mathcal{S}(E,\mathcal{A}) = { les fonctions simples définies sur (E,\mathcal{A}) }

\{h=a_i\} = \{x\in E:\ h(x)=a_i\}

\delta_{a_i} est la masse de Dirac en a_i


Pour la 1, 2 et 3, pas de souci,

mais je sèche complètement sur la question 4.


Merci pour votre aide

Posté par
romure : mesure image / théorème de transfert 16-12-07 à 01:51

Bon je suppose que pour la 4), (F,\mathcal{B}) = ([0,+\infty],\mathcal{B}([0,+\infty]) si h est définie ainsi.

Posté par
romure : mesure image / théorème de transfert 16-12-07 à 11:58

Posté par
stokastikre : mesure image / théorème de transfert 16-12-07 à 14:56

Le plus simple pour comprendre, si tu es un peu à l'aise avec les probabilités, est de considérer mu comme une probabilité et h comme une variable aléatoire définie sur (E,A,mu).
Car ainsi la mesure image est synonyme de la loi de la variable aléatoire h.

Alors c'est simple : h prend la valeur a_i sur l'événement \{h=a_i\}, donc là tu vois facilement que 3$\mu\circ%20h^{-1}%20=%20\Bigsum_{i\in%20I}%20\mu(\{h=a_i\})\%20\delta_{a_i}.


Sinon pour le montrer plus froidement, tu utilises la question 1): il suffit de vérifier que pour toute fonction f, tu as 3$\Bigint_E%20(f\circ%20h)\%20d\mu = \sum f(a_i)\mu(\{h=a_i\})\delta_{a_i}... ça va ?

Posté par
stokastikre : mesure image / théorème de transfert 16-12-07 à 14:58

... correction : dans ma dernière égalité, il faut supprimer le \delta_{a_i}

Posté par
romure : mesure image / théorème de transfert 16-12-07 à 15:13

bonjour Stochastik,

oui en fait c'est résolu, mais justement ça tombe bien parce que j'ai un peu de mal à faire la connexion avec le théorème de transfert qu'on avait vu en calculs des probabilités (élémentaire) qu'on utilisait pour calculer des espérances du genre E(h(X)).

Et donc ici h serait une variable aléatoire discrète, si je comprends bien.


Enfin, je te remercie, au moins je vois un peu le lien avec les variables aléatoires.

Posté par
stokastikre : mesure image / théorème de transfert 16-12-07 à 15:22

Comment ça un peu le lien ?

Si X est une v.a. définie sur (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) alors la loi de X est par définition la mesure image de \mathbb{P} par X.

Posté par
romure : mesure image / théorème de transfert 16-12-07 à 15:32

oui

quand j'avais vu les variables aléatoires, je ne savais pas que la théorie de la mesure existait.

Et quand on utilise les variables aléatoires, c'est qu'on travaille avec la mesure (proba) P\circ X^{-1} avec P_X:= P\circ X^{-1}, c'est bien ça?

Et donc on passe de (\Omega,\mathcal{A},P) à (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),P_X)?

Posté par
stokastikre : mesure image / théorème de transfert 16-12-07 à 15:42

C'est cela

Posté par
romure : mesure image / théorème de transfert 16-12-07 à 16:07

ok merci pour ton aide Stochastik


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