exercice :

Dans le plan complexe P raporté au repère orthonormal ( O , (vecteur u) , (vecteur v) ) , on considère les points A , B et C d'affixes respectives a= -1 , b = 2i , c = - i
Soit f la fonction de P privé du point A dans P qui , à tout point M d'affixe z , associe le point M' d'affixe z' telle que : z' = (- iz -2 ) / (z+1)

1/ soit C' l'image du point C par f . Donner l'affixe c' du point C' sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique .

2/ Calculer l'affixe d du point D ayant pour image par f , le point D' d'affixe d' = 1/2

3/ Pour tout nombre complexe z différent de -1 , on note p le module de z + 1 (c'est a dire |z+1| = p) et p' le module de z' + i (c'est a dire |z'+i|=p' )
a) démontrer que pour tout nombre complexe z différent de -1 , on a pp' = (racine de 5)
b) Si le point M appartient au cercle T de centre A et de rayon 2 , montrer qu'alors M' = f (M)  appartient à un cercle T' dont on precisera le centre et le rayon .

4/ pour tout nombre complexe z différent de -1 , on considère le nombre complexe w = (z - 2i) / (z+1)
a) interpréter géométriquement l'argument du nombre complexe w .
b) montrer que z' = - iw
c) déterminer géométriquement l'ensemble ( F ) des points M d'affixe z telle que z' soit un réel non-nul.
d) justifier que le point D appartient aux ensemble T et F .