Bonjour,

La série harmonique est un cas particulier ( pour a=1) des série de Riemann.
Sinon, je comprends pas ton problème ensuite, la série harmonique diverge, mais la série de terme général (-1)^n/n converge d'après le critère spécial des séries alternées.

Bonjour Rouliane en faite mon problème est le suivant:

(-1)ⁿ / n pour n0 est convergente car 1/n tend vers 0 quand n tend vers +00 et est décroissante donc => convergente (d'après Abel)

et on peut aussi dire:

abs ( (-1)ⁿ / n ) 1 / n , donc 1 / n est divergente d'après Riemann => (-1)ⁿ / n   est divergente

Ou est mon erreur (pour info c'est le premier cas qui est juste)

Merci pour ton aide

L'erreur c'est que majorer le terme général par un terme divergent n'implique pas la divergence.

Par exemple, , mais la série de terme général converge !

Ah oui, d'accord, et de plus je pense que j'ai utilisé la comparaison à l'envers, il aurait fallu que 1/n converge pour dire que (-1)ⁿ / n converge (ce qui est faux bien sur) ai-je bien compris ?

T'as à moitié bien compris

Les théorèmes de comparaison ne sont valables que pour des séries à termes positifs !
Or ici (-1)^n/n change de signe.

Idem quand on manipule les équivalents, c'est vrai que pour les séries à termes positifs.

Ah d'accord, j'ai enfin compris, je te remercie

J 'ai encore une question:

f_n(x) = (-1)ⁿ / n

si on prends x = 0, on a: f_n(0) = (-1)ⁿ/n  


abs ( f_n(0) ) = 1 / n

donc la série f_n(0) ne converge pas absolument donc f_n ne converge pas absolument.

C'est un de mes exos, mais je ne suis pas d'accord, car 1/n tend vers 0 quand n tend vers +00 donc   f_n(0) est convergente ou est mon erreur ?

Merci pour ton aide

fn ne dépend pas de x ?

euh oui, excuse moi f_n(x) = (-1)ⁿ (x²+n / n²)

Mais je pense avoir trouvé mon erreur : en faite c'est abs( f_n(0) ) 1 / n, or 1/n est divergente d'après Riemann , ai-je bien compris

2 choses :

- Pourquoi tu regades ici la convergence absolue alors que c'est une série alternée ?

- c'est pas parce que le terme tend vers 0 que la série converge ( c'est une condition nécessaire et pas suffisante ! ) Il suffit de prendre la série harmonique comme contre exemple...

je regarde la convergence absolue parce qu' on me demande: La série f_n converge t-elle absolument sur R ? pour n >= 1

ok alors un simple équivalent suffit.

ok

Autre question:
Dans mon cours j'ai un théorème qui dit:
Toute série alternée converge, c'est faux non ! Car j'ai des exos ou on a une série alternée et cette série est divergente .

Par exemple: U_n = (-1)ⁿ * 2^-1/n tend vers 1 quand n tend vers +00, donc ce théorème et faux n'est-ce pas ?

oui bien sur c'est faux il manque des conditions.

Ah oui, j'ai encore une petite question

1). abs ( f_n(x) ) = abs ( -1/n * e^-x/n ) 1/n avec x0 et n^*

Pourquoi ? que fait-on de e^-x/n ?

Merci pour tes réponses, et pourquoi 2). abs( sin (x) ) abs( x )

exp(-x/n) est plus petite que 1 pour tout x positif (  x est positif j'imagine ) et tout n.

Pour l'inégalité avec les sinus, c'est une inégalité bien connu, que tu peux montrer avec l'inégalité des accroissement finis.

Donc quand je fais une égalité  avec abs(...) après ce sont tout des termes supérieur ou égal à 1 alors ?
Quand c'est plus petit que 1 on ne les mets pas est-ce ceci ?

Oui, on peut le voir comme ça. Mais attention à ne pas majorer trop vite.
par exemple, on veut souvent utiliser que sin(x)< 1, mais c'est quelque fois trop "fort" comme majoration, alors on essaye avec sin(x)<x pour voir ce que ça donne.

D'accord, j'ai tout compris je te remercie Rouliane c'est
Comme je révise les suites et les séries de fonctions, si jamais j'ai encore des questions je te les poserai si tu veux bien sur !
Merci encore   

Pas de problèmes !

Bon courage pour tes exos.

Bonjour Rouliane, désolée, mais j'ai une question en ce qui concerne les séries entières, pourrais-tu m'aider ?

Ma question est la suivante:

     ( sh n / ch² n ) Zⁿ
n0

étudier la convergence en chaque point du bord du disque de convergence:

J'ai calculé le rayon et R = e:

Disque de convergence est:

D(0,e) = { Z   / abs(Z) = e }
Le bord du disque est le cercle de centre 0 et de rayon e.

Z = e * eⁱ


     ( sh n / ch² n ) Zⁿ
n0

=      ( sh n / ch² n )*( e * eⁱ)ⁿ
n0

=      ( sh n / ch² n )*( eⁿ * eⁱⁿ)
n0

1). ********** = 2 k => Z = e ******************

Donc U_n = ( sh n * eⁿ / (ch n)² )

= 2 * (e²ⁿ - 1)   /   (eⁿ + e^-n)²

~ 2 e²ⁿ / e²ⁿ = 2

Donc pour = 2 k ,      ( sh n / ch² n ) Zⁿ
n0 converge ou diverge ? (converge vers 2 quand n tend vers +00, donc je dirai quel est convergente )

Ai-je bon, faux ou est mon erreur ?


2).**********   2 k => Z = e *eⁱ ******************

Donc U_n =      ( sh n / ch² n )*( eⁿ * eⁱⁿ)
n0

= [ 2 * (e²ⁿ - 1)   /   (eⁿ + e^-n)² ] * eⁱⁿ

Peut-on utiliser un équivalent dans ce cas ? ou Abel en montrant que:

2 * (e²ⁿ - 1)   /   (eⁿ + e^-n)² est décroissante et tend vers 0 => U_n est convergente ?
Je ne sais pas trop comment le justifier proprement ?

Peux-tu m'aider, je t'en remercie d'avance