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limite
Bonsoir,
je ne sais vraiment pas comment faire l'exercice suivant j'espère que l'on pourra m'aider:
en suppose que f est bornée sur [0,1] et que f(x+1)= f(x)+1
il faut alors montrer que lim x->+
est 1. Plusieurs indications nous sont données est il faut en premier calculer f(x+l) en fonction de f(x).
l est un entier naturel et la seule chose que j'ai faite c'est que j'ai écris la traduction de l en tant que limite mais étant donné qu'on ne dit pas que l est la limite...
Enfin bref j'aurais besoin d'aide !
Bonsoir 
On montre par récurrence que f(x+n)=f(x)+n pour tout n entier.
En effet : Pour n = 1 c'est dans l'énoncé
Maintenant supposons la propriété vraie pour n :
f(x+n+1)=f(x+n)+1=f(x)+n+1.
La propriété est vraie au rang n+1
La propriété est donc vraie pour tout n.
Maintenant il y a un problème.
Soit M un majorant entier de f et t tel que f(t) est entier.
On prend n=M+1-f(t)
Alors f(t+n)=f(t)+M+1-f(t)=M+1 > M
Mais M est un majorant de f ...
Il doit y avoir un problème d'énoncé.
Ben en faite l'indication suivante est: On sait qu'il existe k entier naturel tel que k
xk+1 . Qu'est-ce que k ? en déduire un encadrement de f(x)
Pour k on prend abs(x) ?
je c pas si ça répond au problème mais je n'avais pas précisé tout l'exercice
Désolé mais je n'arrive pas à voir comme à partir de cette inégalité on peut encadré f. j'ai le droit d'introduire f dans l'inégalité même si on ne sait pas si la fonction est à valeurs positives ou négatives ?
x = E(x)+Frac(x) avec E(x)=partie entiere et Frac(x) partie fractionaire
Avec ta proprieté f(x+1)=f(x)+1 et une petite récurence on obtient
f(x)=E(x)+f(frac(x)) f(frac(x))est majorée par M mais E(x) tend vers +l'infini quand x tend vers + l'infini petit pb pour avoir une limite égale à 1!!!!
De plus f(x)=x vérifie tes hypothéses mais n'a pas une limite finie en + l'infini....
Sur [0,1], E(x) est compris entre 0 et 1 et f( frac(x)) aussi donc f compris entre 0 et 2 mais si je veux f(x)/x ça fait que ça tend vers l'infini ? mais je suis censé trouver 1
Oui. Voici l'énoncé complet.
On suppose que:
-f est bornée sur [0,1] i.e il existe M positif ou nul tel que abs(f(x))M
-f(x+1)= f(x)+1
Montrer que lim x->+(f(x)/x))=1
Indication: -calculer f(x+l) en fonction de f(x)
- on sait qu'il existe k tel que kxk+1 en déduire un encadrement de f
-conclure
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