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Fonctions, suites, équivalents, limites...

Posté par
Bourasland 21-02-08 à 02:12

Bonjour, j'ai un exercice un peu difficile à faire, j'aimerais avoir de l'aide dessus.
Voici l'énoncé,

1) Soit \varphi une fonction continue sur \mathbb{R_+} de limite l\in \mathbb{R} en +\infty.
Montrer qu'il existe x_0\in\mathbb{R_+} tel que |\varphi(x)|\le 1+|l| pour x\ge x_0.

En déduire que \varphi est bornée sur \mathbb{R_+} (on pourra montrer, en justifiant les écritures, que |\varphi(x)| \le M+1+|l| pour tout x\in\mathbb{R} avec M=\sup_{[0,x_0]}|\varphi|).


Dans la suite, on considère n\in \mathbb{N^*}, fixé, et on pose

                               \forall x\in\mathbb{R_+^*},    \fbox{f_n(x)=\frac{nx^2exp{-nx}}{(1-exp{-x})^2}}

2)a) Trouver un équivalent et la limite de f_n(x) lorsque x\to 0 et lorsque x\to +\infty.
En déduire un prolongement par continuité de f_n en 0 (noté encore f_n).
b) En déduire que f_n est bornée sur \mathbb{R_+} (utiliser la question 1).
c) On pose u_n=\sup_{\mathbb{R_+}}|f_n(x)|. Montrer que \lim_{x\to +\infty} u_n=+\infty

3) On pose g(x)=x^2exp{-x} pour x\in \mathbb{R_+}. Etudier les variations de g.
4) Soit a>0, et n\in\mathbb{N} tel que na\ge 2.
   a) Montrer que, pour x\ge a,
            
                                   \fbox{|f_n(x)|\le \frac{1}{n}\frac{g(nx)}{(1-exp{-a})^2}}
   b) En déduire qu'il existe un constante C_a telle que
                        
\fbox{\sup_{x\ge a}|f_n(x)|\le C_an exp{-na}}
   c) On pose v_n=\sup_{x\ge a}|f_n(x)|
       Montrer que v_n=o(\frac{1}{n^2}) quand n tend vers +\infty .


donc,
1) je n'y arrive pas mais ça m'a l'air de beaucoup ressembler au cours...
2)a Pour l'équivalent en 0, j'ai trouvé : n
      La limite en 0 est n

      Pour l'équivalent en l'infini, j'ai trouvé : 0
      La limite en l'infini est 0

J'ai déduit le prolongement par continuité de f_n(x) en 0 par f_n(0)=n
b) il faut que je réponde à la question 1), mais comme f_n(x) est continue sur \mathbb{R_+} et admet une limite nulle en +\infty, alors on déduit qu'elle est bornée sur  \mathbb{R_+}

après je n'est pas encore continuer...

Posté par
antoine7272fonction,suite équivalent 21-02-08 à 08:51

Prendre la définition de la limite avec epsilon = 1 et la seconde inégalité triangulaire va(va(f)-va(l))<  ,va voulant dire valeur absolue, ainsi ton va(l) peut passer à droite sans pb.

Posté par
Bouraslandre : Fonctions, suites, équivalents, limites... 21-02-08 à 12:59

OK donc j'écris,
Soit \varphi une fonction continue sur \mathbb{R_+} de limite l\in\mathbb{R} en +\infty
On choisit \epsilon=1
Il existe donc x_0>0 tel que pour tout x\in\mathbb{R_+},
x\ge x_0 \Longrightarrow |\varphi(x)-l|<\epsilon
||\varphi(x)|-|l||\le 1
d'où |\varphi(x)|\le 1 + |l|
c'est ça

mais après comment fait t'on pour montrer qu'elle est bornée sur \mathbb{R_+} ?

Posté par
antoine7272re : Fonctions, suites, équivalents, limites... 21-02-08 à 13:20

Sur [0,x[/sub]0]tu es sur un compact donc elle est bornée par M1 et sur xx[sub]0 ton majorant est 1+va(l)
donc est majorée par max(M1;1+va(l)

Posté par
Bouraslandre : Fonctions, suites, équivalents, limites... 21-02-08 à 13:28

je n'est pas compris, c'est quoi un compact?
( les exposant sur LaTex ça peut s'écrire comme ça,
x_0 ce qui donne x_0

Posté par
Bouraslandre : Fonctions, suites, équivalents, limites... 21-02-08 à 15:28

euh sinon j'ai dit que
1+|l| était un majorant de \varphi et que 0 était un minorant de \varphi donc elle est minorée.
c'est juste ?

Posté par
Bouraslandre : Fonctions, suites, équivalents, limites... 21-02-08 à 15:28

euh
1+|l| était un majorant de \varphi et que 0 était un minorant de \varphi donc elle est bornée.

Posté par
antoine7272re : Fonctions, suites, équivalents, limites... 21-02-08 à 16:05

Un compact est un fermé borné de R et sur un compact une fonction continue est bornée.
tu ne sait pas que 0 est un minorant.

Posté par
Bouraslandre : Fonctions, suites, équivalents, limites... 21-02-08 à 16:07

mais \varphi\ge 0 vu le dénominateur et le numérateur non?

Posté par
Bouraslandre : Fonctions, suites, équivalents, limites... 21-02-08 à 17:19

on peut peut être utilisé le fait que sur un intervalle fermé bornée, une fonction continue est bornée. non?

Posté par
Bouraslandre : Fonctions, suites, équivalents, limites... 21-02-08 à 20:14

bon je suis à la question 4)

Posté par
Bouraslandre : Fonctions, suites, équivalents, limites... 21-02-08 à 20:16

j'ai écrit que
\frac{g(nx)}{n}=nx^2 exp{-nx}
\frac{g(nx)}{n}=f_n(x)(1-exp{-x})^2
et donc on a
|f_n(x)|\le \frac{f_n(x)(1-exp{-x})^2}{(1-exp{-a})^2}
mais après...

Posté par
Bouraslandre : Fonctions, suites, équivalents, limites... 21-02-08 à 20:24

euh plutôt
\frac{1}{n}\frac{g(nx)}{(1-exp{-a})^2}= \frac{f_n(x)(1-exp{-x})^2}{(1-exp{-a})^2}

Posté par
Bouraslandre : Fonctions, suites, équivalents, limites... 21-02-08 à 22:22

ya plus personne ?

Posté par
Bouraslandre : Fonctions, suites, équivalents, limites... 21-02-08 à 23:04

Bon c'est bon pour la 4)a


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