bonjour

Essaie de calculer In+1 - In, t'aboutira sur une intégrale où tu pourras faire une intégration par partie (de tête, dériver t et intégrer )

résultat de ton calcul : - t² dt / (1+t²)^(n+1) , mais je galère vraiment en intégrales ...

I(0) n'existe pas puisque l'énoncé impose que n est un entier naturel non nul

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S dt/(1+t²)^n

Poser dt = dv --> v = t
et poser 1/(1+t²)^n = u --> -2nt.(1+t²)^(-n-1) dt = du

-2nt/(1+t²)^(n+1) dt = du

S dt/(1+t²)^n = t/(1+t²)^n + 2n S t²/(1+t²)^(n+1) dt

S dt/(1+t²)^n = t/(1+t²)^n + 2n S (t²+1-1)/(1+t²)^(n+1) dt

S dt/(1+t²)^n = t/(1+t²)^n + 2n S 1/(1+t²)^n dt - 2n S 1/(1+t²)^(n+1) dt

Et de 0 à x -->

I(n) = x/(1+x²)^n + 2n.I(n) - 2n.I(n+1)

2n.I(n+1) =  x/(1+x²)^n + 2n.I(n) - I(n)

2n.I(n+1) =  x/(1+x²)^n + (2n-1).I(n)

Comme n est différent de 0 :

I(n+1) =  (1/(2n))*x/(1+x²)^n + [(2n-1)/(2n)].I(n)
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Sauf distraction.  Vérifie.  

mais ce dt veut dire quoi en fait car dans mes cours ils indiquent que c'est différent de dx je ne m'y retrouve plus du tout...

dt si la variable d'intégration est t.

dx si la variavle d'intégration est x

dToto si la variable d'intégration est Toto.

variable d'intégration c'est l'abscisse en fait ?

C'est vrai que, si on fait un graphe d'une fonction à intégrer (intégrale simple), la variable d'intégration est souvent représentée en abscisse.
  
Mais c'est un raccourci scabreux.

ok , merci JP de ton aide .