Forum : nombres complexes :
complexes et triangle rectangle

Bonjour j'ai exo a rendre et je suis pas très sur de moi... J'ai l'impression que c'est incomplet !!

Le plan complexe étant rapporté a un repère orthonormal direct (O, u, v), et z étant un nombre complexe, on considère les points M d'affixe z, M' d'affixe z², et M'' d'affixe z³. Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que MM'M'' forment un triangle rectangle.



Voila mon raisonnement : je me suis dis qu'il fallait trouver tous les points M' qui était l'image de M par la rotation de centre M'' d'angle pi/2, plus tous les points M qui était l'image de M' par la rotation de centre M'' d'angle pi/2, puis tous les points M'' qui était l'image de M' par la rotation de centre M d'angle pi/2   etc...

J'ai résolu pour cela : par exemple z² = e^(i*pi/2)[z - z³] + z³

Ce qui représentait 6 triangles differents. Ensuite si on fait un repère (0, u, v) on voit facilement 2 autres triangles (z = i et z = -i)


Dans l'énoncé on parle d'ensemble, alors je sais pas si j'ai bien compris l'éxo ou si il y a d'autres solutions...

Merci beaucoup !!

bonjour

ton raisonnement qui distingue les trois cas de triangle rectangle est bon sauf qu'il n'est pas précis:
lorsque tu dis que par exemple trouver tous les points M' image de par la rotation de centre M" et d'angle Pi/2 tu restraints aux triangles isocèles puisque la rotation par définition conserve les distances alors que ton triangle rectangle peut être non iscèle en général.

mais si tu dis que l'angle (M"M,M"M')=Pi/2 (2Pi)
cela équivaut à arg(z'-z")/(z-z")=Pi/2 ssi  (z'-z")/(z-z")est imaginaire pur
                                       ssi (z'-z")/(z-z")=-[(z'-z")/(z-z")]
barre
                                       ssi (z²-z^3)/(z-z^3)=(z*²-z*^3)/(z*-z*^3  ; z*=zbarre
                                       ssi (z²-z^3)(z*-z*^3)=(z*²-z*^3)(z-z^3)
                                       ssi z²z*-z²z*^3-z^3z*+(zz*)^3=z*²z-z*²z^3-z*^3z+(z*z)^3
                                       ssi zz*(z-z*)-(zz*)²(z*-z)-zz*(z²-z*²)=0
                                       ssi zz*(z-z*)[1+zz*-(z+z*)]=0
                                       ssi z=0 ou z réel ou |z|²-2Re(z)+1=0
                                       ssi z=0 ou z réel ou x²+y²-2x+1=0
                                       ssi z=0 ou z réel ou (x-1)²+y²=0
                                       ssi z=0 ou z réel ou x=1 et y=0
                                       ssi z=0 ou z réel ou z=1
                                       ssi z réel
tu fais de même pour les autres cas de triangles rectangles

je comprend pas bien...

en fait tu dis arg(z'-z")/(z-z") = pi/2 ssi z est réel (z=3 par exemple ?) si je comprend bien ?

les autres cas de triangles rectangles, il y en a bien 6 ? et il faut donc faire le même raisonnement pour chacun d'eux...

merci

j'ai pas très bien compris, s'il vous plait !