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convergence d'une suite de cauchy dans un espace metrique
bon soir a tt le monde
je me suis bloqué sur un exo de convergence il est comme suit :
montrez que toute suite de Cauchy qui possède une sous suite convergente est convergente .
si vous m aidais sa sera vraiment un bonheur pour moi je ne c pas comment commencé et comment raisonner
merci bcp a vous et j'attends vos renonces
salut
soit e fixé et (un) ta suite extraite qui converge vers L
alors il existe N tel que si n>N alors |L-un| < e/2
d'autre part ta suite xn) est de Cauchy donc il existe N' tel que si p,q>N' alors |xp-xq|<e/2
donc en prenant n>max(N,N') alors |L-xn|<|l-up|+|up|-xn|<e/2+e/2<e
donc (xn) converge
considère une boule ouverte de centre L et de rayon e
une sous suite converge donc il existe N1 tel que si n>N1 les termes de ta sous suite sont dans la boule de centre L et de rayon e/2
d'autre part ta suite est de Cauchy donc il exits N2 tel que (tous) les termes de ta suite vérifient : p>N2 et q>N2 alors |xp - xq| < e/2
donc en prenant n > N > Max(N1,N2) alors |L - xn| <e/2 +e/2 < e
en fait mon u c'est un x avec un certain indice obtenu à l'aide d'une injection croissante de 
dans lui-même
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