Forum : géométrie :
Triangles Semblables

Re Bonjour,

J'ai un exercice sur les triangles semblables:

AB = 4 cm, AC = 7cm et BC = 8 cm
La bissectrice de l'angle BAC coupe (BC)au point S
H est l'angle droit de B sur (AI)
K est l'angle droit de C sur (AI)

Il fallait tout d'abord montrer que les triangles ABH et ACK sont semblables donc j'ai reussi (avec les angles)et maintenant je dois montrer que BHI et CKI sont semblables mais je ne vois pas avec quoi car pour BHI je n'ai qu'un angle  ...

Puis Grace à ça je devrait déduire que AB/AC = BI/CI

Merci d'avance   

Tu peux facilement montrer  qu'ils ont eux aussi des angles égaux.

Et le point I, je suppose que c'est S ?

Oups oui je me suis tromper (dsl) le point I c'est le S

Pour CKI j'ai reussi mais pour BHI je vois pas comment avoir un deuxieme angle

Et pour CKI, tu as trouvé quoi, et en quoi diffère-t-il de BIH ?

Ne vois-tu pas comment montrer l'égalité des angles dans les deux triangles bleus ?

POur CKI: On sait que IKC = 90° et que on a vu precedement que ACK = 45° mais ça me donne pas mon deuxieme angle enfait ^...

MOntrer que leurs cotés sont proportionnels?

Ou si je trouve l'angles CIK je peux trouver l'angles HIB ...

Et oh, grand devin, tu peux me dire comment tu as trouvé 45° ?

Tu as déjà entendu parler des angles opposés ? HIB et KIC sont des angles opposés et donc de mesure égale.

Je l'ai trouvé parce que AKC = 90° et KAC = 45°

Oui c'est bien ça dont je parler juste au dessus simplement que je dois trouver combien vaut l'un ou l'autre

Mais qui t'affirme que KAC vaut 45° ?

Grâce à la bissectrice non?

(La géométrie j'ai énormément de difficulté :s)

Ah, la bissectrice. Elle divise l'angle BAC en deux angles de même mesure. Donc si KAC fait 45°, c'est parce que BAC fait 90°. Suis-je bête.

Euh , peux-tu me dire d'où te vient cette certitude que BAC fait 90° ???

Bah de vue c'est tout :s

eh bien, "de vue" s'appelle une conjecture. Ce n'est pas interdit. Mais après il faut le montrer.
Or, si le triangle était vraiment rectangle, ses cotés vérifieraient Pythagore.

A-t-on l'égalité

non on ne l'a pas ...

Donc j'ai faux

Disons que tu t'es un peu trop fié à ton instinct et que dans ce cas précis il t'a trahi, le vilain.

Mais si tu reprenais mes post de 18:22 et 18:29, je t'y donnais la solution.

Avec les angles opposés?
Mais il m'en faut au moins un pour trouver l'autre, donc je dois faire " de vue" ?

Non, il suffit de remarquer qu'ils sont de même mesure. Cette mesure importe peu pour le résultat attendu. Comme il y a une autre paire d'angles de même mesure (celle-là, on la connait, c'est 90°), alors les triangles sont semblables. Tout simplement.

Alors je dois pas demontrer cette mesure
Et bien je te remercie

Et pour ce qui est de ABH et ACK je dois le refaire puisque il m'a trahit .... ?

Sans connaitre explicitement la mesure de l'angle BAC (tu sais seulement que ce n'est pas un angle droit), tu peux affirmer, puisque (AI) est sa bissectrice, que les angles BAI et IAC ont même mesure.

Donc les triangles AHB et AKC ont chacun un angle droit (BHA et CKA) et un autre angle de même mesure (BAH et KAC). Donc ils sont bien semblables et alors le rapport de leurs cotés (appelés homologues) est constant.

Ce ne sont les triangles qui t'ont trahi, mais ton instinct. Je tiens à rétablir la vérité car ces pauvres mathématiques sont souvent attaquées à tord.

et bien je te remercie énormément

et pour ce qui est de déduire que AB/AC = BI/CI  j'utilise donc le théorème avec ce que j'ai montrer juste avant

Et oui, tu exprimes la proportionnalité des cotés dans les deux paires de triangles semblables, et puis tu en déduits immédiatement l'égalité demandée.

parcontre comme j'ai pas les mesures je dois egalement les mesurer moi -même sans justifer ?

Non, tu fais référence aux longueurs inconnues en donnant leur extrémité.

dans les triangles semblables AHB et AKC, les cotés homologues sont
AH et AK, AB et AC, HB et CK, donc nous avons les relations suivantes :


dans les triangles semblables BHI et IKC, les cotés homologues sont
BH et KC, BI et IC, HI et IK, donc nous avons les relations suivantes :


Donc on en déduit que

et que


alors on a


Je n'ai manipulé aucune valeur réelle, parce que pour répondre à la question, je n'en ai pas eu besoin.

dans la suite de ton exercice, tu auras peut-être à les utiliser, mais pour l'instant, ça reste vrai pour n'importe quelle valeur des cotés du triangle.

Merci

Effectivement dans la suit de mn exercice, il me demande de montrer : 7 * BI = 4 *(8 - BI) suite à la reponse  ab/ac = bi/ci

Bonsoir, Et Bien Pour finir j'ai trouvé, effetivement je ne sais pas compter ^^ j'ai trouver mon erreur et j'ai pu continuer la suite de mon exercice

Je te remercie Dhalte

bonjour Allo et Dhalte
Dhalte, pour ton podium

voici ma démonstration de : BI/CI = AB/AC
soit k le rapport des aires des triangles ABI et ACI
les triangles ABI et ACI ont une hauteur commune partant de A; leurs aires sont proportionnelles à leurs bases BI et CI : BI/CI = k
les mêmes triangles ont leurs hauteurs partant de I égales; leurs aires sont proportionnelles à leurs bases AB et AC : AB/AC = k
finalement : k = BI/CI = AB/AC

Quel podium ?