surface mais 100% arithmétique

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surface mais 100% arithmétique

Posté le 17-05-08 à 10:22

Posté par xunil

bonjour,

Citation :
Soit S la surface d'équation:

$x^2-y^2=2xyz$

Déterminer tous les points de S dont les coordonnées sont des entiers naturels.

bon en fait c'est un exo purement arithmétique mais bon une petite figure pour le style.

bon sinon :

je pose : $d=x\wedge y$ .

$x=dk$ et $y=dq$ avec $k\wedge q=1$ .

on a donc $k^2-q^2=2kqz$ .

ensuite je montre que si $k\wedge q=1$ alors nécessairement $q=k=1$ .

donc on a : $k\wedge q^2=1$ et $k^2\wedge q=1$ .

$\left{k|q^2 \\q|k^2$ donc nécessairement $q=k=1$

donc en fait $z=0$ et $x=y=d$ .

bon j'ai posté ma méthode parce que d'une part je ne suis pas sur que cela convienne et sinon j'aime bien voir d'autres méthodes qui font intervenir soit des congruences soit des belles factorisations car là je cherhche mais je ne trouve pas ...

factorisation basique : $(x-zy)^2+y^2(1-z^2)=0$ mais après que dire ?

merci

re : surface mais 100% arithmétique

Posté le 17-05-08 à 11:06

Posté par xunil

$1s\white{.}$

re : surface mais 100% arithmétique

Posté le 17-05-08 à 11:27

Posté par sloreviv

bonjour,
moi j'ai (x-zy)²=y²(1+z²)
donc y² divise le membre de gauche donc y² divise x²-2xyz +y²z²
soit d le pgcd de x et y
x=dk; y=dq
q 1er avec k

q² divise (k²-2kqz+q²z²) donc q divise k² or q 1er avec k
on a donc uq+kv=1 , au carre k²v²+q(u²q+2vuk)=1 donc q est 1er avec k² donc ....q=1

(x-zy)²=y²(1+z²) devient (k-z)²=(1+z²)
k²-2kz=1; k divise 1 donc x=y=d et (1-z)²=1+z² donc z=0

solution : tous les triplets (d;d;0) d dans N
A relire!!

re : surface mais 100% arithmétique

Posté le 17-05-08 à 11:40

Posté par xunil

oui on trouve bien les mêmes triplets...

pour une factorisation basique j'ai réussit à me gourer ... et sinon je comprend la méthode.

je ne pense pas qu'on en trouve de plus sympathique.

merci

@+

re : surface mais 100% arithmétique

Posté le 17-05-08 à 12:23

Posté par Coll

Bonjour,

Pour information :

re : surface mais 100% arithmétique

Posté le 17-05-08 à 12:26

Posté par xunil

bonjour Coll, en effet mais ce n'est pas le même exo (si tu veux collection radial, édition belin). et d'ailleurs j'ai encore un exo avec la même surface...

@+

re : surface mais 100% arithmétique

Posté le 17-05-08 à 12:29

Posté par Coll

J'ai bien vu que ce n'est pas le même exercice. Mais je trouve intéressant de les mettre en relation l'un avec l'autre

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