Forum : maths financières :
Calcul de taux d'intèrêt

Bonjour,
énoncé du problème:
Si le montant de vos remboursements mensuels pour un emprunt de 75.000 € sur
30 ans s'élève à 425.84 €, quel est le taux i d'intérêt de votre emprunt ?

Pour moi, la valeur actuelle V_a = 75.000 €; l'annuité constante
a = 425.84 €. Nombre de remboursement n = 30 ans.
        
Donc               Vo = a

                      75.000 = 425.84

                      75.000 x i = 425.84 - 425.84(1 + i)^-30

                     (75.000 x i) + 425.84(1 + i)^-30  = 425.84

                     (176.12 x i) + [(1 + i)^-30]     = 1.

                 exp (176.12 x i) + [(1 + i)^-30]  = 1 = exp(0)
                    
                      (176.12 x i) + [(1 + i)^-30]    = 0
                      
                       [(1 + i)^30]x ( 176.12 x i) = -1

                      30ln(1 + i) + ln(176.12 x i ) = ln(e^-1)
                  
Je ne vois pas comment continuer ? Merci pour l'aide.
          

    Bonjour. Tu peux peut-être faire plus simple /


75.000  *(1 + i) ³⁰  =  425,84 * 12 * 30  + 75.000

ce qui donne :   ( 1 + i )³⁰  =  3,044

Et la calculatrice te donnera  :  3,044 ^-30 - 1  =  i

Bonjour,
Je ne comprends pas ton raisonnement:
               Vo = a * [(1 - (1+i)^-30]/i
              
               Vo   = a * [((1 + i)^n) - 1]/i x (1 + i)^n
              
               Vo *i * (1 + i)^n = a * ((1 + 1 )^n  - 1

je ne vois pas comment tu as pu trouver ton résultat?

et le i où est-il ?

Ce qui revient à écrire par l'applcation numérique:

     75000.00 * i * (1 + i)^30 = 425.84 * ((1 + i)^30) - 1

si tu peu m'expliquer. Merci

    Somme empruntée / 75.000
    Somme due au bout de trente ans :   75.000 *(1+i)³⁰
    Intérêts à payer :    75.000 *(1+i)³⁰ -  75.000

d'où ma formule de 14h33

Bonjur,
Figure toi que avec
(3.044)^-30 - 1 = i     i = 3.138055 - 1 < 0 ?
un taux ne peu jamais être < à 0 .

Re-bonjourEn outre, l'annuité est de 425.84 €. donc obliger de prendre en compte cette dernière. sinon je n'ai  toujours pas trouvé. A+

    425,84 n'est pas une annuité, tu as dit que c'était le remboursement mensuel ...

(désolé, je reviens à 19h00. A plus tard peut-être ?)

Bonjour,

Si tu veux, je rectifie et je dirais mensualité. Dans tous les cas, le "raisonnement" reste le même.
aussi en plus utiliser la mensualité de 360 mois au lieu de 30 ans si tu veux. A+

Re-bonjour jacqlouis,
tu sais, moi je n'ai rien dis. J'écris d'après l'énoncé.
Donc je n'y peux rien. Merci.

    L'énoncé disait :  des remboursements mensuels sur 30 ans ...
Je ne voulais pas que tu te trompes à leur sujet ...

Donc, tu peux,... en lisant bien les données .

Re_bonjour,

Supposant que ce que tu dis est vrai. et admettant que ton raisonnement est juste.

Tu as bien trouvé que  : 3,044^-30 - 1  =  i
     donc               i = 3.138055043 x 10^(-15) - 1
  Le résultat est négatif .
Sauf erreur de ma par, le résultat trouvé est inexacte.
Je te laisse déduire.

    Tu voulais calculer avec les log  tes formules de départ... Donc tu maîtrises ce calcul ...

Veux -tu faire , avec les log,  ce calcul que je t'ai proposé :
           i  =  3,044^(-30)  - 1    
et dis moi ce que tu trouves ?...

Salut,
Effectivement, je l'ai fait.
mais pourquoi les log ?
Je pense qu'on peut calculer 3.044^(-30) -1 sans passer par les log.
D'ailleurs je l'ai calculé. et le résultat est négatif.

Re_bonjour,
Mais je ne vois pas comment avec les log? soit plus explicite s'il te plait. Merci.

    Parce que l'on a :   ln(3,044) =  1,113
et divisé par 30, cela donne :   0,0371   --->   i = 1,0378 - 1 = 0,0378

Tu trouves cela négatif ?...  

Sinon, pourquoi on s'intéresse à ce dernier résultat de i ?
On ne sait pas si c'est juste ou pas.
Tant que ton résultat ne s'avère pas juste, ça sera vain de chercher i.

Bonsoir,

je me permets d'intervenir pour rectifier une petite erreur:




entraîne         et  non pas      , qui serait en effet négatif.

     Toi, pour le baratin, tu t'y connais ...
Que viens-tu donc faire ici, puisque tu sais tout ?...

Moi je trouve comme taux d'intérêt :   O,O378  , ... Si tu ne comprends pas que cela correspond à  3,78 pour cent ?...  Revois ton cours ...

    Bonsoir !

Bonsoir ,
Sincèrement je ne vois pas comment passer de la formule :
                                      i = (3.044)^-30    -  1  
A                                    i =    1.0378          -  1
Sauf erreur de ma part :
Si on fait intervenir les ln
Le résultat devient :
              
                                     ln i = ln [(3.044)^30 - 1]
A part la formule habituelle : Va = a x [(1 -(1 + i)-n] / i
    -Où :
     Va = valeur actuelle (somme empruntée)
     a le montant de versements mensuelles
     n la durée de la période de l'emprunt
     i le taux de l'emprunt-
Je ne sais pas comment tu as fait?
Donc si tu peux me dire sur quelle formule tu t'es basé pour arriver au résultat cité? Merci beaucoup.
NB:
Mon intention n'est pas de t'embêter avec mes questions mais je ne suis pas du tout convaincu du résultat. Encore merci de ton aide. bonne nuit.

Bonjour,
Un élève de 6ème sait que 0.0378 = 3.78 %
Mais la seule chose qui me préoccupe pour le moment, c'est l'exercice qui n'est toujours pas résolu.
sinon, merci pour le compliment. Bonne nuit.

Bonjour,

jacqlouis, es-tu sûr de ta formule de départ ?

citation :
75.000 * (1 + i)^30 = 425,84 * 12 * 30 + 75.000

Cela voudrait dire que les 425,84 ne sont que des intérêts, et que l'on rembourse tout de même le capital à la fin.

On pourrait aussi penser que les 425,84 sont un remboursement de capital + intérêt, comme dans un emprunt "classique". Dans ce cas, je trouve 5,50 % (non encore vérifiée).

Nicolas

Soit la mensualité (et non pas l'annuité)
Soit la somme empruntée
Soit la durée de l'emprunt en années
Soit le taux d'intérêt (inconnu).

Le taux d'intérêt mensuel est supposé être de .

En actualisant les flux à la date de début du prêt, on obtient :





On reconnaît la somme des termes d'une suite géométrique :







C'est la même formule que celle donnée dans ton premier message, à ceci près que tu n'étais bien clair sur :
n = nombre d'années ou de mois ?
i = taux annuel ou mensuel ?

Il n'est pas possible d'isoler i au sein d'une telle formule.

Application numérique :





Pour trouver une valeur approchée de , on peut par exemple utiliser la fonction "valeur cible" d'Excel. Pour ma part, j'obtiens :



Sauf erreur.

Nicolas

Bonjour Nicolas,
Tu es un pro. Là oui, je suis bien convaincu.
Ah! vraiment merci. C'est bien le résultat 5.5 %. Bon dimanche et A+

En fait dis moi Nicolas,
Tu peux me dire où était ma faille?
Sauf erreur de ma part on est bien parti de la même formule n'est ce pas?
                      Vo = a [(1 (1 + i^-n)] / i

Je reviens plus tard. Merci de me préciser d'avantage ton raisonnement. au revoir.
Pour jacqlouis, merci pour ton intervention mais regarde la démarche qui est la meilleur. Bon courage.

Je n'ai pas vérifié tes calculs ligne par ligne, mais le fait est... qu'ils n'aboutissent pas. C'est normal puisqu'ils semblent viser à isoler i, ce qui n'est pas possible.

citation :
Pour jacqlouis, merci pour ton intervention mais regarde la démarche qui est la meilleur.

Je te conseille de changer de ton.

Bonjour,

citation :
On pourrait aussi penser que les 425,84 sont un remboursement de capital + intérêt, comme dans un emprunt "classique". Dans ce cas, je trouve 5,50 % (non encore vérifiée).

->Tout-à-fait, cela semble en effet plus cohérent.Je ne m'en étais pas aperçu moi non plus.

A partir de là, j'avoue ne pas très bien comprendre ton hypothèse selon laquelle le taux d'intérêt annuel serait de i/12, Nicolas, mais je ne connais pas les conventions utilisées en mathématiques financières.

J'aurais eu tendance à écrire, beaucoup plus simplement:



qui conduit à un taux d'intérêt annuel d'environ 2,41%.



Sinon matecha, tu ne sembles pas avoir vu mon intervention d'hier à 21h29, où je t'expliquais comment retomber sur tes pattes à partir des formules (finalement fausses) dont vous étiez partis.

Méthode alternative (mais qui conduit toujours à un résultat faux bien sûr) en utilisant les logarithmes:

  .

On retrouve bien la formule de mon post de 21h29:      

Pardon, je voulais dire:

citation :
ton hypothèse selon laquelle le taux d'intérêt mensuel serait de i/12

Bonjour Nicolas,
1) Je pense pour le "ton" j'étais plus poli que la réflexion qui m'a été faite.
2) mon intention n'était pas mauvaise; J'ai juste conseiller de voir ta méthode qui a abouti au bon résultat. Donc sur ce coté, je suis tranquille avec ma conscience et mes propos ne sont pas blessant comme la réflexion de diminution qui m'a été faite. Lis là, s'il te plait, et tu me diras ce sue tu en penses. Merci.
sinon Nicolas, soyons pragmatique, ton résultat est juste.
Mais pourquoi tu as utiliser le taux proportionnel (ia = im/12) au lieu du taux équivalent? Merci.



Pour Tiqweg, bonjour,
Ce que tu as rectifié était juste. Mais ça n'émane pas de mon résultat.
Par conséquent, J'ai juste voulu essayé de montrer que le résultat était faux même si on suppose, en admettant, que la démarche présenté étais bonne. Merci  

Je ne comprends pas ce que tu veux dire:

soit ma méthode est juste, soit c'est celle de Nicolas qui l'est!

Comme Nicolas a l'air de s'y connaître bien plus que moi dans ce domaine, je pencherais donc a priori davantage pour la seconde hypothèse, bien que je ne voie pas où la mienne pèche.

citation :
Par conséquent, J'ai juste voulu essayé de montrer que le résultat était faux même si on suppose, en admettant, que la démarche présenté étais bonne.

-> tu as voulu essayer de montrer que quel résultat était faux?

Bonjour Tiqweq,
Je viens de voir la formule de i = 3.044^(1/30) - 1. D'accord et merci.
Mais pour moi, il faut partir de la formule :
                Vo = a [(1-(1+i)^(-n)] / i

Pour aboutir au résultat de 5.5 % que Nicolas a trouver.
Mais il y'a toujours un hic entre :
l'application du taux proportionnel où la mensualité ou(plutôt l'annuité) n'existe pas et
le taux équivalent qu'on toujours appliqué pour calculer : Vn ;  Vo ; a  ou i.
A la prochaine.

Je ne connais aucune formule de maths financières, par conséquent ton cours ne me parle pas.

Je crois que seul Nicolas pourra nous en dire plus.

Re-bonjour,
Ah! oui,
je te parle du résultat qui m'a été présenté le 28/06 à 15.09:
                        3,044^-30 - 1  =  i
Sinon, j'aimerais bien savoir quelle formule générale as-tu appliqué pour trouver i =5.5 %. A plus tard et bon courage.
          

Comme je l'ai écrit, la formule 3,044^(-30) - 1  =  i est fausse, il faut remplacer l'exposant par 1/30.

citation :
Sinon, j'aimerais bien savoir quelle formule générale as-tu appliqué pour trouver i =5.5 %. A plus tard et bon courage

->Ce n'est pas moi qui ai trouvé 5,5% ! Comme je l'ai aussi écrit, je trouve finalement i=2,41%...

Bon courage à toi aussi

Tigweg,

Je ne suis pas convaincu par ta formule :


Le membre de gauche est une valeur dans 30 ans.
Le membre de droite est la somme de valeurs calculées à 360 dates différentes : il faut les actualiser à la même date, celle du membre de gauche.
C'est le sens de ma mini-démonstration de ci-dessus (avec actualisation de tous les flux à la date du jour, au début des 30 ans).

Reste le problème des i/12, sur lequel je reviendrai dans le prochain message.

Je reviens donc sur le i/12.

Il me semble que c'est une approximation habituelle en mathématiques financières de dire que le taux mensuel équivalent à un taux annuel de i est i/12.

En toute rigueur, c'est

Dans ce cas, la formule devient :


Je trouve avec le solveur d'Excel

Sauf erreur.

(Connaissant le taux annuel, j'ai approximé le taux mensuel équivalent par le taux mensuel proportionnel.)

En fait Nicolas, je réalise que je n'ai jamais bien saisi le sens de l'expression taux d'intérêt annuel.




Signifie-t-elle qu'au début de chaque année passée à rembourser, la banque rajoute à nos frais un pourcentage constant de ce qui nous reste encore à rembourser au moment où l'on se place?




En écrivant       , j'ai considéré au contraire qu'au début de chaque année passée à rembourser, la banque rajoute à nos frais un pourcentage constant de la somme empruntée au départ.


Par ailleurs, je ne comprends pas ce que tu entends par actualisation des flux: je n'entends rien en effet au jargon financier.


D'après ce que j'ai compris, on rembourse chaque mois la même somme pendant 30 ans: la somme à rembourser est donc bien égale à mon membre de droite         , à moins que je ne me trompe?

Quand tu écris (1+i)^30, il s'agit bien d'intérêt composés : on rajoute un pourcentage sur la somme de départ + les intérêts accumulés.

Ce que tu dis (rajout d'un pourcentage constant de la somme empruntée au départ) donnerait 1 + 30i.

Concernant l'actualisation des flux...

Quand on parle d'argent, il faut toujours préciser de quelle année.

Soit i le taux d'intérêt annuel.

1000 € cette année correspondent à 1000(1+i) de l'année prochaine, puisque je peux les placer au taux i jusqu'à l'année prochaine, et j'obtiendrai cette somme.

Dans l'autre sens, pour avoir 10000 dans 30 ans, il suffit d'avoir 10000/(1+i)^30 aujourd'hui. En effet, en plaçant cette somme aujourd'hui au taux i, j'obtiendrai bien 10000 dans 30 ans.

(.../...)

Oui pardon, je me suis mal exprimé:

je me suis bien placé dans le cadre d'intérêts composés (ça je connais quand même!), et j'ai  considéré qu'au début de chaque année, la banque rajoutait à nos frais un pourcentage constant de la somme qui était à rembourser exactement un an auparavant.

Ma question reste la même, modulo ce petit correctif.

Dans le cas d'un emprunt comme pour cet exercice...

Soit i le taux d'intérêt annuel.
Soit V0 la somme empruntée.
On suppose qu'on rembourse sur 3 ans à annuité constante A :
- A au bout d'un an,
- A au bout de 2 ans,
- A au bout de 3 ans.

Il suffit d'écrire que les flux d'argent positifs sont égaux aux flux d'argent négatifs, en les actualisant à la même date.

On choisit comme date la date de l'emprunt.

Un seul flux positif : V0 aujourd'hui

Trois flux négatifs = les remboursements :
A dans un an, ce qui correspond à A/(1+i) aujourd'hui
A dans 2 ans, ce qui correspond à A/(1+i)² aujourd'hui
A dans 3 ans, ce qui correspond à A/(1+i)^3 aujourd'hui

On égalise :

V0 = A/(1+i) + A/(1+i)² + A/(1+i)^3

En reconnaissant à droite la somme des termes d'une suite géométrique, on aboutit aux formules de début de topic, et on peut en déduire A.

Cette annuité constante comprend une part de remboursement de capital et une part d'intérêts sur le capital restant dû. Le rapport entre ces parts change d'année en année.

On peut le calculer facilement.
De mémoire, la part de capital remboursé au sein de l'annuité au fil des ans est une suite géométrique.

J'ai fait tous les calculs à une époque. J'essaierai de les poster ce soir.

Décidément il est difficile de s'exprimer correctement en matière financière!

citation :
la banque rajoutait à nos frais un pourcentage constant de la somme qui était à rembourser exactement un an auparavant.

-> C'est-à-dire sans tenir compte de ce qui a déjà été remboursé à ce moment.

Dans ma question:

citation :
Signifie-t-elle qu'au début de chaque année passée à rembourser, la banque rajoute à nos frais un pourcentage constant de ce qui nous reste encore à rembourser au moment où l'on se place?

j'entendais au contraire qu'on tenait compte de l'argent déjà remboursé, et qu'on n'appliquait le pourcentage qu'à la somme restant à rembourser au moment où l'on se place.

Merci pour tes réponses, je les lirai ce soir. Je dois partir.

citation :
la banque rajoutait à nos frais un pourcentage constant de la somme qui était à rembourser exactement un an auparavan

Je comprends :
annuité = intérêts + x % du capital restant à rembourser

Cela semble cohérent avec mon message ci-dessus.

Mais cela ne remet pas en cause mon objection initiale : il me semble que l'erreur (si je peux me permettre) de ta formule est qu'elle compare deux sommes calculées à des dates différentes (membre de gauche = dans 30 ans ; membre de droite = composées de dates entre 0 et 30 ans).

Bonjour,
J'ai calculé le taux i avec la calculatrice financière et j'ai trouvé exactement
5.5 %.
Mais je n'arrivais pas à comprendre comment la machine a calculé la formule .
La calculette utilise la formule suivante:
                                             exp[(C/Y)x ln((x+1)] - 1
Où:  C/Y = Nombre de période de calcul par an.
La calculatrice financière c'est :
                      Texas Instrument
                      Ba II Plus Professionnelle
Donc le résultat c'est bien 5.5 %.Merci beaucoup A bienôt.

matecha, que vaut x dans ta formule ? Et à quoi est égale l'ensemble de l'expression ? (Où sont Vo et la mensualité ?)

Tigweg,

On emprunte une somme F aujourd'hui.
On rembourse cet emprunt par N annuités (capital+intérêt) constantes de montant A, payées à la fin de la 1ère, 2ème, ..., N-ième année.
Soit r le taux d'intérêt annuel.

On cherche à exprimer A en fonction de F, N et r.

(1) Première méthode : actualisation des flux financiers.

C'est l'approche décrite ci-dessus. On égale les flux positifs et négatifs, en les actualisant à la date d'aujourd'hui.



On reconnaît dans le membre de droite la somme des termes d'une suite géométrique.

On arrive finalement à :



(.../...)

L'inconvénient de cette première approche est qu'elle nous masque ce qui se passe chaque année. En particulier, on ne sait pas quelle part du capital est remboursée tous les ans. De plus, on n'est pas convaincu que la part d'intérêts au sein de l'annuité correspond bien à l'application du taux sur le capital restant à rembourser à ce moment.

Tentons de résoudre la même question sans faire intervenir l'actualisation.

(2) Seconde méthode : utilisation des mécanismes fondamentaux du remboursement

Au sein de l'annuité A, soit I_n la part d'intérêt.

Après le paiement de l'annuité A, soit K_n le capital restant à rembourser.

On a les relations :


Regardons de proche en proche la situation année après année :



(*)

(*)

En (*), on reconnaît le binôme de Newton

On peut montrer par récurrence que :
(**)

Or on doit absolument avoir K_N=0.

On en déduit :


En remplaçant dans (**), on obtient :


La part de capital dans l'annuité n est alors :

qui est une suite géométrique croissante. On rembourse de plus en plus de capital, et de moins en moins d'intérêts.

En écho à l'un de tes messages précédents, cela ne semble donc pas être une fraction constante du capital restant à rembourser. On n'a pas

Sauf erreur !

Nicolas