Suite de fonctions & convergence uniforme
Apprendre à utiliser le forum
La foire aux questions relatives au forum
Comment utiliser le LaTeX sur le forum
Les énigmes du mois en cours
Les classements des joueurs d'énigmes
Le fonctionnement des énigmes
Chercher dans le forum
Les topics n'ayant pas obtenu de réponse
Des statistiques complètes sur ces forums
forumsliste de tous les forums de mathématiques » SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... » autre » analysetopics traitant de analyse » [tout]lister tous les topics de mathématiques
Suite de fonctions & convergence uniforme
Posté le 13-07-08 à 12:55
Posté par 
gui_tou gui_tou
Bonjour,
Voilà je lisais un cours sur les suites de fonctions (convergence simple, uniforme ..). Et il y a un exemple qui me trouble.
Pourtant la convergence est simple, donc![3$\forall x\in[0,1],\;\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$\forall x\in[0,1],\;\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x))
donc la borne supérieure de 
sur ![3$[0,1]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$[0,1])
devrait elle aussi tendre vers 0 quand 
, non ? (je crois que je ne vois pas pourquoi convergence simple 
convergence uniforme 
)
En admettant que la convergence ne soit pas uniforme : est-ce dû au fait que)
est une suite de fonctions continues, et qu'une suite de fonctions continues ne peut pas converger uniformément vers une fonction non continue (ici 
)?
Ainsi il ne peut pas y avoir de discontinuité en 1, et c'est donc pour ça que![3$\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)|=1](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)|=1)
Merci de m'éclairer sur ce point
gui_tou gui_touBonjour,
Voilà je lisais un cours sur les suites de fonctions (convergence simple, uniforme ..). Et il y a un exemple qui me trouble.
Citation :
Une suite de fonctions peut converger simplement sans converger uniformément.
Ains la suite définie sur par =x^n)
converge simplement vers la fonction telle que : =0\rm{ si }0\le x<1\\f(1)=1)
En effet,
pour 
. Mais il apparaît sur la figure suivante que
La convergence n'est donc pas uniforme.
Une suite de fonctions peut converger simplement sans converger uniformément.
Ains la suite définie sur
En effet,
La convergence n'est donc pas uniforme.
Pourtant la convergence est simple, donc
)En admettant que la convergence ne soit pas uniforme : est-ce dû au fait que
Ainsi il ne peut pas y avoir de discontinuité en 1, et c'est donc pour ça que
Merci de m'éclairer sur ce point
re : Suite de fonctions & convergence uniforme Posté le 13-07-08 à 13:07
Posté le 13-07-08 à 13:07Posté par infophile infophile
Salut ^^
Pour ta deuxième question il me semble que c'est le théorème de Dini non ?
infophile infophileSalut ^^
Pour ta deuxième question il me semble que c'est le théorème de Dini non ?
re : Suite de fonctions & convergence uniforme Posté le 13-07-08 à 13:12
Posté le 13-07-08 à 13:12Posté par infophile infophile
Reviens à la définition avec les epsilons.
Par analogie c'est un peu comme continuité simple et uniforme, t'as vu ça ?
infophile infophileCitation :
(je crois que je ne vois pas pourquoi convergence simple convergence uniforme )
(je crois que je ne vois pas pourquoi convergence simple convergence uniforme )
Reviens à la définition avec les epsilons.
Par analogie c'est un peu comme continuité simple et uniforme, t'as vu ça ?
re : Suite de fonctions & convergence uniforme Posté le 13-07-08 à 13:21
Posté le 13-07-08 à 13:21Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1
Salut tout le monde
Gui_tou >> Voici un bon exemple qui va te faire comprendre en quoi l'implication est bancale:
On prend n€N*.
fn est définie par: 0 si x > = 1/n.
1 si x = n
Sinon, on se débrouille pour que sa courbe forme un triangle isocèle sur [0,1/n].
(Fais un dessin, sinon tu comprendras que dalle).
Il est clair que (fn) tend vers la fonction nulle, mais on voit aussi très bien pourquoi la convergence n'est pas uniforme.
1 Schumi 1 1 Schumi 1Salut tout le monde
Gui_tou >> Voici un bon exemple qui va te faire comprendre en quoi l'implication est bancale:
On prend n€N*.
fn est définie par: 0 si x > = 1/n.
1 si x = n
Sinon, on se débrouille pour que sa courbe forme un triangle isocèle sur [0,1/n].
(Fais un dessin, sinon tu comprendras que dalle).
Il est clair que (fn) tend vers la fonction nulle, mais on voit aussi très bien pourquoi la convergence n'est pas uniforme.
re : Suite de fonctions & convergence uniforme Posté le 13-07-08 à 13:54
Posté le 13-07-08 à 13:54Posté par gui_tou gui_tou
Salut les gars
Kéké > ok pour Dini, ça confirme un peu ce que je préssentais ^^
J'ai la déf avec les epsilon : en fait j'affine ma question.
Avec la conv simple, on a :>0,\,/\,n>N(\epsilon,x)\,\Longright\,|f_n(x)\,-\,f(x)|<\epsilon)
Avec la conv uniforme :>0,\,/\,n>N(\epsilon)\,\Longright\,\sup_{x\in I}|f_n(x)\,-\,f(x)|<\epsilon)
Fixons
. Donc d'après la conv simple, quel que soit 
, il existe un rang )
à partir duquel \,-\,f(x)|<\epsilon)
.
Donc si on choisit)
, on a alors \,-\,f(x)|<\epsilon)
et donc \,-\,f(x)|<\epsilon)
non ?
(ou bien justement ce
n'existe pas toujours .. ?)
Non ^^
Ayoub > merci pour l'exemple On a clairement \,-\,f(x)|=1)
, me trompé-je ?
Pff jsuis nul
gui_tou gui_touSalut les gars
Kéké > ok pour Dini, ça confirme un peu ce que je préssentais ^^
J'ai la déf avec les epsilon : en fait j'affine ma question.
Avec la conv simple, on a :
Avec la conv uniforme :
Fixons
Donc si on choisit
(ou bien justement ce
Citation :
Par analogie c'est un peu comme continuité simple et uniforme, t'as vu ça ?
Par analogie c'est un peu comme continuité simple et uniforme, t'as vu ça ?
Non ^^
Ayoub > merci pour l'exemple
On a clairement Pff jsuis nul
re : Suite de fonctions & convergence uniforme Posté le 13-07-08 à 14:12
Posté le 13-07-08 à 14:12Posté par tealc tealc
salut
ton sup sur I vaut peut être (et ici, surement)
et du coup tu ne peux plus conclure ...
Prend l'exemple suivant
 = 0 )
sur 
et 
sur 
Elle tend simplement vers 0 (en écrivant avec les espilons, c'est évident).
Cependant, elle ne tend pas uniformément vers 0, puisque pour tout n,-f(x)) = 1)
tealc tealcsalut
ton sup sur I vaut peut être (et ici, surement)
Prend l'exemple suivant
Elle tend simplement vers 0 (en écrivant avec les espilons, c'est évident).
Cependant, elle ne tend pas uniformément vers 0, puisque pour tout n,
re : Suite de fonctions & convergence uniforme Posté le 13-07-08 à 14:13
Posté le 13-07-08 à 14:13Posté par romu romu
Salut,
ton
n'existe pas toujours effectivement,
il faut comme tu vois que:\ x\in I\})
soit majoré dans IN et c'est pas toujours le cas (en plus il faut que ce soit vrai pour tout 
.
romu romuSalut,
ton
il faut comme tu vois que
re : Suite de fonctions & convergence uniforme Posté le 13-07-08 à 14:23
Posté le 13-07-08 à 14:23Posté par gui_tou gui_tou
Salut les gars
Okk merci. J'avais besoin de cibler le hic, c'est donc l'existence (ou pas) de
Je réfléchis à tout ça et je poste si besoin est.
Merci à tous
gui_tou gui_touSalut les gars
Okk merci. J'avais besoin de cibler le hic, c'est donc l'existence (ou pas) de
Je réfléchis à tout ça et je poste si besoin est.
Merci à tous
re : Suite de fonctions & convergence uniforme Posté le 13-07-08 à 15:27
Posté le 13-07-08 à 15:27Posté par Arkhnor Arkhnor
Salut !
On peut visualiser facilement ce que représente cette convergence uniforme.
Si la suite de fonctions)
converge uniformément vers une fonction 
, ca veut dire que pour un 
fixé, si l'on trace un "tuyau" (je vois pas d'autre mot) de rayon 
autour de la fonction limite, alors a partir d'un certain rang, les graphes des 
seront tous dans ce tuyau.
Sur le graphe que tu as posté, on voit que les ne rentrent pas dans un tube centré sur l'axe des abscisses, pour 
Ils sortent tous de ce tube, a cause du = 1)
, et de la continuité.
Si c'est pas clair, hésite pas
Arkhnor ArkhnorSalut !
On peut visualiser facilement ce que représente cette convergence uniforme.
Si la suite de fonctions
Sur le graphe que tu as posté, on voit que les
Ils sortent tous de ce tube, a cause du
Si c'est pas clair, hésite pas
re : Suite de fonctions & convergence uniforme Posté le 13-07-08 à 16:42
Posté le 13-07-08 à 16:42Posté par Camélia Camélia 
Bonjour gui_tou et tous les autres.
En effet, il y a un théorème qui dit que la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue. et la suite que tu donnes est un exemple type où l'on conclut que la convergence n'est pas uniforme, puisque la limite n'est pas continue.
Alors je suggère d'étudier toujours sur [0,1] la suite
gn(x)=xn(1-x)
Camélia Camélia Bonjour gui_tou et tous les autres.
En effet, il y a un théorème qui dit que la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue. et la suite que tu donnes est un exemple type où l'on conclut que la convergence n'est pas uniforme, puisque la limite n'est pas continue.
Alors je suggère d'étudier toujours sur [0,1] la suite
gn(x)=xn(1-x)
re : Suite de fonctions & convergence uniforme Posté le 13-07-08 à 19:40
Posté le 13-07-08 à 19:40Posté par gui_tou gui_tou
Bonjour Arkhnor et Camélia
Vi Arkhnor, dans un vieux bouquin j'ai lu cette interprétation graphique ! (à la place de tuyau : enveloppe ?
)
Oki Camélia
La suite (gn) de fonctions converge uniformément vers la fonction nulle sur [0,1], right ?
Merki !
gui_tou gui_touBonjour Arkhnor et Camélia
Vi Arkhnor, dans un vieux bouquin j'ai lu cette interprétation graphique ! (à la place de tuyau : enveloppe ?
)Oki Camélia
La suite (gn) de fonctions converge uniformément vers la fonction nulle sur [0,1], right ?
Merki !
re : Suite de fonctions & convergence uniforme Posté le 13-07-08 à 21:38
Posté le 13-07-08 à 21:38Posté par otto otto
Les fonctions sont continues et positives sur [0,1] et atteignent donc un maximum. De plus f(0)=f(1)=0 et donc ce maximum est atteint sur (0,1).
Il suffit de remarquer que le max est toujours atteint en n/(n+1) et de calculer f_n(n/(n+1)) pour voir que la convergence est uniforme sur [0,1].
a+
otto ottoLes fonctions sont continues et positives sur [0,1] et atteignent donc un maximum. De plus f(0)=f(1)=0 et donc ce maximum est atteint sur (0,1).
Il suffit de remarquer que le max est toujours atteint en n/(n+1) et de calculer f_n(n/(n+1)) pour voir que la convergence est uniforme sur [0,1].
a+
re : Suite de fonctions & convergence uniforme Posté le 13-07-08 à 22:53
Posté le 13-07-08 à 22:53Posté par fusionfroide fusionfroide
Salut Arkhnor,
Pour cette histoire de tube, que doit-on prendre pour epsilon ?
Parce que si je prends epsilon=1, toutes les courbes sont dans ce tube, non ?
MErci !
fusionfroide fusionfroideSalut Arkhnor,
Pour cette histoire de tube, que doit-on prendre pour epsilon ?
Parce que si je prends epsilon=1, toutes les courbes sont dans ce tube, non ?
MErci !
re : Suite de fonctions & convergence uniforme Posté le 13-07-08 à 23:31
Posté le 13-07-08 à 23:31Posté par gui_tou gui_tou
Salut otto et ff
ba ça doit être valable quel que soit epsilon donc pour 1/2 ça coince
gui_tou gui_touSalut otto et ff
ba ça doit être valable quel que soit epsilon donc pour 1/2 ça coince
Suite de fonctions & convergence uniforme Posté le 15-07-08 à 11:07
Posté le 15-07-08 à 11:07Posté par Fradel Fradel
Bonjour à tous,
Je reprend ce que tu disais un peu plus haut gui-tou
je suis d'accord. Mais quand tu écris :
là, je ne suis pas d'accord, car, comme tu le dis toi-même juste en dessous, on ne peut pas garantir que ce sup existe, bref, que cet ensemble d'entiers naturels soit fini puisqu'on prend une infinité de valeurs de x.
Fradel FradelBonjour à tous,
Je reprend ce que tu disais un peu plus haut gui-tou
Citation :
J'ai la déf avec les epsilon : en fait j'affine ma question....Fixons
>0 ;Donc d'après la conv simple, quel que soit x
I, il existe un rang N(,x) à partir duquel lfn(x)-f(x)l
J'ai la déf avec les epsilon : en fait j'affine ma question....Fixons
>0 ;Donc d'après la conv simple, quel que soit xI, il existe un rang N(,x) à partir duquel lfn(x)-f(x)lje suis d'accord. Mais quand tu écris :
Citation :
Donc si on choisit N0=supxIN(,x) ...
Donc si on choisit N0=supx
IN(,x) ...là, je ne suis pas d'accord, car, comme tu le dis toi-même juste en dessous, on ne peut pas garantir que ce sup existe, bref, que cet ensemble d'entiers naturels soit fini puisqu'on prend une infinité de valeurs de x.
re : Suite de fonctions & convergence uniforme Posté le 15-07-08 à 11:13
Posté le 15-07-08 à 11:13Posté par gui_tou gui_tou
Oui voilà Fradel, c'est le hic que j'essayais de saisir, je ne voyais pas ce qui clochait!
C'est la même histoire pour continuité simple/uniforme ?
Merci
gui_tou gui_touOui voilà Fradel, c'est le hic que j'essayais de saisir, je ne voyais pas ce qui clochait!
C'est la même histoire pour continuité simple/uniforme ?
Merci
re : Suite de fonctions & convergence uniforme Posté le 15-07-08 à 14:24
Posté le 15-07-08 à 14:24Posté par otto otto
C'est la même histoire dans le sens où ton delta dépend de x, alors que pour la continuité le delta ne dépend que de epsilon.
otto ottoC'est la même histoire dans le sens où ton delta dépend de x, alors que pour la continuité le delta ne dépend que de epsilon.
Seuls les membres peuvent poster sur le forum !
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.
Imprimer
Réduire
Agrandir
connectez vous
analyse en post-bac forumsliste de tous les forums de mathématiques » SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... » autre » analysetopics traitant de analyse » [tout]lister tous les topics de mathématiques
Fiches de maths
Encyclopédie
Annuaire
Outils
Jeux
Ce site
Nouveau
Livre d'or
Newsletter
île des maths
île de la physique
