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Suite de fonctions & convergence uniforme


autreSuite de fonctions & convergence uniforme

#msg1933902#msg1933902 Posté le 13-07-08 à 12:55
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Bonjour,

Voilà je lisais un cours sur les suites de fonctions (convergence simple, uniforme ..). Et il y a un exemple qui me trouble.

Citation :
Une suite de fonctions peut converger simplement sans converger uniformément.

Ains la suite définie sur 3$[0,1] par 3$f_n(x)=x^n converge simplement vers la fonction 3$f telle que : 3$\{f(x)=0\rm{ si }0\le x<1\\f(1)=1

En effet, 3$\lim_{n\to\infty}x^n=0 pour 3$|x|<1. Mais il apparaît sur la figure suivante que   3$\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)|=1

Suite de fonctions & convergence uniforme

La convergence n'est donc pas uniforme.


Pourtant la convergence est simple, donc   3$\forall x\in[0,1],\;\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)  donc la borne supérieure de 3$|f_n-f| sur 3$[0,1] devrait elle aussi tendre vers 0 quand 3$n\to\infty, non ? (je crois que je ne vois pas pourquoi convergence simple 3$\not\Longright convergence uniforme )

En admettant que la convergence ne soit pas uniforme : est-ce dû au fait que 3$(f_n) est une suite de fonctions continues, et qu'une suite de fonctions continues ne peut pas converger uniformément vers une fonction non continue (ici 3$f)?

Ainsi il ne peut pas y avoir de discontinuité en 1, et c'est donc pour ça que 3$\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)|=1

Merci de m'éclairer sur ce point
re : Suite de fonctions & convergence uniforme#msg1933906#msg1933906 Posté le 13-07-08 à 13:07
Posté par Profilinfophile infophile

Salut ^^

Pour ta deuxième question il me semble que c'est le théorème de Dini non ?
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re : Suite de fonctions & convergence uniforme#msg1933909#msg1933909 Posté le 13-07-08 à 13:12
Posté par Profilinfophile infophile

Citation :
(je crois que je ne vois pas pourquoi convergence simple  convergence uniforme  )


Reviens à la définition avec les epsilons.

Par analogie c'est un peu comme continuité simple et uniforme, t'as vu ça ?

re : Suite de fonctions & convergence uniforme#msg1933911#msg1933911 Posté le 13-07-08 à 13:21
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Salut tout le monde

Gui_tou >> Voici un bon exemple qui va te faire comprendre en quoi l'implication est bancale:

On prend n€N*.
fn est définie par: 0 si x > = 1/n.
1 si x = n
Sinon, on se débrouille pour que sa courbe forme un triangle isocèle sur [0,1/n].

(Fais un dessin, sinon tu comprendras que dalle).

Il est clair que (fn) tend vers la fonction nulle, mais on voit aussi très bien pourquoi la convergence n'est pas uniforme.

re : Suite de fonctions & convergence uniforme#msg1933914#msg1933914 Posté le 13-07-08 à 13:54
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Salut les gars

Kéké > ok pour Dini, ça confirme un peu ce que je préssentais ^^

J'ai la déf avec les epsilon : en fait j'affine ma question.

Avec la conv simple, on a  :  3$\forall \epsilon>0,\,\forall x\in I,\,\exists N(\epsilon,x)>0,\,/\,n>N(\epsilon,x)\,\Longright\,|f_n(x)\,-\,f(x)|<\epsilon

Avec la conv uniforme : 3$\forall \epsilon>0,\,\exists N(\epsilon)>0,\,/\,n>N(\epsilon)\,\Longright\,\sup_{x\in I}|f_n(x)\,-\,f(x)|<\epsilon

Fixons 3$\epsilon>0. Donc d'après la conv simple, quel que soit 3$x\in I, il existe un rang 3$N(\epsilon,x) à partir duquel 3$|f_n(x)\,-\,f(x)|<\epsilon.

Donc si on choisit 3$N_0=\sup_{x\in I} N(\epsilon,x), on a alors 3$\forall x\in I,\,n>N_0\,\Longright\,|f_n(x)\,-\,f(x)|<\epsilon  et donc 3$\sup_{x\in I}|f_n(x)\,-\,f(x)|<\epsilon non ?

(ou bien justement ce 3$N_0 n'existe pas toujours .. ?)

Citation :
Par analogie c'est un peu comme continuité simple et uniforme, t'as vu ça ?


Non ^^

Ayoub > merci pour l'exemple On a clairement 3$\lim_{n\to\infty}\;\sup_{x\in{\bb R}^+}|f_n(x)\,-\,f(x)|=1, me trompé-je ?

Pff jsuis nul
re : Suite de fonctions & convergence uniforme#msg1933917#msg1933917 Posté le 13-07-08 à 14:10
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Tu parles de quel exemple dans ta dernière question?

)
re : Suite de fonctions & convergence uniforme#msg1933918#msg1933918 Posté le 13-07-08 à 14:11
Posté par Profilgui_tou gui_tou

le tien, le truc avec les pics
re : Suite de fonctions & convergence uniforme#msg1933919#msg1933919 Posté le 13-07-08 à 14:12
Posté par Profiltealc tealc

salut

ton sup sur I vaut peut être (et ici, surement) +\infty et du coup tu ne peux plus conclure ...

Prend l'exemple suivant

3$f_n(x) = 0 sur 3$[0,n[ et 1 sur 3$[n,+\infty[

Elle tend simplement vers 0 (en écrivant avec les espilons, c'est évident).

Cependant, elle ne tend pas uniformément vers 0, puisque pour tout n, 3$\sup (f_n(x)-f(x)) = 1
re : Suite de fonctions & convergence uniforme#msg1933921#msg1933921 Posté le 13-07-08 à 14:13
Posté par Profilromu romu

Salut,

ton N_0 n'existe pas toujours effectivement,

il faut comme tu vois que B_{\varepsilon} = \{N(\varepsilon,x):\ x\in I\} soit majoré dans IN et c'est pas toujours le cas (en plus il faut que ce soit vrai pour tout \varepsilon>0.
re : Suite de fonctions & convergence uniforme#msg1933931#msg1933931 Posté le 13-07-08 à 14:23
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Salut les gars

Okk merci. J'avais besoin de cibler le hic, c'est donc l'existence (ou pas) de 3$N_0

Je réfléchis à tout ça et je poste si besoin est.

Merci à tous
re : Suite de fonctions & convergence uniforme#msg1933951#msg1933951 Posté le 13-07-08 à 15:27
Posté par ProfilArkhnor Arkhnor

Salut !

On peut visualiser facilement ce que représente cette convergence uniforme.

Si la suite de fonctions (f_n) converge uniformément vers une fonction f, ca veut dire que pour un \epsilon > 0 fixé, si l'on trace un "tuyau" (je vois pas d'autre mot) de rayon \epsilon autour de la fonction limite, alors a partir d'un certain rang, les graphes des f_n seront tous dans ce tuyau.

Sur le graphe que tu as posté, on voit que les f_n ne rentrent pas dans un tube centré sur l'axe des abscisses, pour x \in [0;1[
Ils sortent tous de ce tube, a cause du f_n(1) = 1, et de la continuité.

Si c'est pas clair, hésite pas

re : Suite de fonctions & convergence uniforme#msg1933971#msg1933971 Posté le 13-07-08 à 16:42
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Bonjour gui_tou et tous les autres.

En effet, il y a un théorème qui dit que la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue. et la suite que tu donnes est un exemple type où l'on conclut que la convergence n'est pas uniforme, puisque la limite n'est pas continue.

Alors je suggère d'étudier toujours sur [0,1] la suite

gn(x)=xn(1-x)
re : Suite de fonctions & convergence uniforme#msg1934047#msg1934047 Posté le 13-07-08 à 19:40
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Bonjour Arkhnor et Camélia

Vi Arkhnor, dans un vieux bouquin j'ai lu cette interprétation graphique ! (à la place de tuyau : enveloppe ? )

Oki Camélia

La suite (gn) de fonctions converge uniformément vers la fonction nulle sur [0,1], right ?

Merki !
re : Suite de fonctions & convergence uniforme#msg1934115#msg1934115 Posté le 13-07-08 à 21:38
Posté par Profilotto otto

Les fonctions sont continues et positives sur [0,1] et atteignent donc un maximum. De plus f(0)=f(1)=0 et donc ce maximum est atteint sur (0,1).

Il suffit de remarquer que le max est toujours atteint en n/(n+1) et de calculer f_n(n/(n+1)) pour voir que la convergence est uniforme sur [0,1].

a+
re : Suite de fonctions & convergence uniforme#msg1934161#msg1934161 Posté le 13-07-08 à 22:53
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Salut Arkhnor,

Pour cette histoire de tube, que doit-on prendre pour epsilon ?

Parce que si je prends epsilon=1, toutes les courbes sont dans ce tube, non ?

MErci !
re : Suite de fonctions & convergence uniforme#msg1934175#msg1934175 Posté le 13-07-08 à 23:31
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Salut otto et ff

ba ça doit être valable quel que soit epsilon donc pour 1/2 ça coince
re : Suite de fonctions & convergence uniforme#msg1934179#msg1934179 Posté le 14-07-08 à 00:19
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

ok
Suite de fonctions & convergence uniforme#msg1934663#msg1934663 Posté le 15-07-08 à 11:07
Posté par ProfilFradel Fradel

Bonjour à tous,

Je reprend ce que tu disais un peu plus haut gui-tou
Citation :
J'ai la déf avec les epsilon : en fait j'affine ma question....Fixons >0 ;Donc d'après la conv simple, quel que soit xI, il existe un rang N(,x) à partir duquel lfn(x)-f(x)l


je suis d'accord. Mais quand tu écris :
Citation :
Donc si on choisit N0=supxIN(,x) ...

là, je ne suis pas d'accord, car, comme tu le dis toi-même juste en dessous, on ne peut pas garantir que ce sup existe, bref, que cet ensemble d'entiers naturels soit fini puisqu'on prend une infinité de valeurs de x.
re : Suite de fonctions & convergence uniforme#msg1934667#msg1934667 Posté le 15-07-08 à 11:13
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Oui voilà Fradel, c'est le hic que j'essayais de saisir, je ne voyais pas ce qui clochait!

C'est la même histoire pour continuité simple/uniforme ?

Merci
re : Suite de fonctions & convergence uniforme#msg1934725#msg1934725 Posté le 15-07-08 à 14:24
Posté par Profilotto otto

C'est la même histoire dans le sens où ton delta dépend de x, alors que pour la continuité le delta ne dépend que de epsilon.

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