TS - spé maths - Problème sur : Arithmétique et astronomie

Posté par samah (invité)

Bonjour, voici un probleme de spécialité très difficile. merci à ceux qui pouront m'aider.

Un astronome a observé un jour J0 le corps céleste A,
qui apparaît périodiquement tous les 105 jours. Six jours plus tard (J0 + 6), il observe le corps B, dont la période d'apparition est de 81 jours. On appelle J1 le jour de la prochaine apparition simultanée des deux objets aux yeux de l'astronome.
Le but de cet exercice est de déterminer la date de ce jour J1.

1.
Soient u et v le nombre de périodes effectuées respectivement par A et B entre J0 et J1.
Montrer que le couple (u; v) est solution de l'équation (E1) : 35x-27y=2

2.
a) Déterminer un couple d'entiers relatifs (xo-yo) solution particulière de l'équation (E2) :
35x - 27y = 1.
b) En déduire une solution particulière (u0;v0) de (E1).
c) Déterminer toutes les solutions de l'équation (E1).
d) Déterminer la solution (u;v) permettant de déterminer J1.

3.
a) Combien de jours s'écouleront entre J0 et J1 ?
b) Le jour J0 était le mardi 7 décembre 1999, quelle est la date exacte du jour J1 ? (l'année 2000 était bissextile).
c) Si l'astronome manque ce futur rendez-vous, combien de jours devra-t-il attendre jusqu'à la prochaine conjonction des deux
  astres?

Posté par Victor Victor

En effet, si l'objet A a une période de révolution de 105 jours et si il a fait u périodes, cela a duré 105u jours.
L'objet B lui a tourné v fois à raison de 81 jours par tour soit une durée de 81v.
La différence des deux durées doit être égale à l'écart de jour d'apparition des deux corps soit 6 jours.
Donc
105u-81v=6
en divisant par 3, on obtient l'équation proposée.

A suivre...

Posté par Victor Victor

Pour la solution particulière, on peut utiliser un algorithme pour trouver x0=-10 et y0=-13.
Ensuite, on en déduit que u0=-20 et v0=-26.

on en déduit par un raisonnement classique que
u=-20+27k
v=-26+35k avec k un entier relatif.
Il faut déterminer le plus petit entier k tel que :
-20+27k > 0
-26+35k > 0
On trouve k=1, donc quand le premier corps effectue 7 périodes, le deuxième en effectue 9.

Conclure...

Posté par maxikirby (invité)

je ne comprends pas coment on fait pour la kestion 3. quelqu'un peut-il maider svp? merci bcp et a tout de suite j'espere