Une idée pour la question 3.


On a . Puisque est bornée, il existe un réel tel que .

Après, je suis pas certain : comme la suite tend vers , à partir d'un certain rang, elle est plus grande que 1. Par conséquent,  on a la majoration uniforme . Ce qui permet de conclure.

Je saisi un peu mieux la question 2.


Par continuité de la fonction , c'est localement intégrable.

Au voisinage de , l'exponentielle impose sa limite. On a et la fonction est intégrable au voisinage de .

En , on a et la fonction est continue donc pas de souci en ce voisinage.


L'ensemble de définition de est donc l'intervalle de : .

Et pour la question 1., je me suis dit que si je me ramené a l'absolue convergence, j'aurai le résultat sur la convergence.


Comme dit précédemment, et par conséquent . La monotonie de l'intégrale assure que .

Et c'est la que je fais un petit bug : l'hypothèse de cette question est que converge et non pas que qu'elle converge absolument !


Bref, en dernier recours, j'avais pensé écrire que mais bon, je n'en vois pas l'intérêt.

Bonjour,
pourquoi parles tu d'ordre dans les complexes ?

Bonjour otto,

relis bien ce que j'ai dis :

Citation :
Maintenant, je ne vois pas comment comparer les complexes! Sauf erreur, par d'ordre dans .

J'ai bien lu et je te repose la question, pourquoi veux tu comparer des complexes ?

Pour la 3, il me semble que c'est trivial, si f est bornée par M disons, alors
|Lf(x)|<M/x non ?

Pour la question 2 j'imagine qu'on veut savoir à quoi ressemble le domaine de définition, est ce qu'il est connexe, ouvert etc.

C'est facile de voir que c'est un intervalle d'après la question 1.

Et sinon, ce que j'ai proposé, tu en penses quoi ?

A propos de ?

Pour la convergence dominée ce n'est pas un problème, il me semble que Mexp(-t) majore toutes tes fonctions non ? Du moins à partir d'un certain rang ...

Mais on n'a clairement pas besoin de toute cette machinerie ici ...

Je pense que c'est faux, si f est positive non intégrable ton résultat est faux ...

Exemple f=1...

Il peut exister 36 000 facons, mais si tu en essaies une trop compliquée et que tu n'y arrives pas ...

Tu perds un peu la philosophie de ces théorèmes lorsque tu as un cas aussi simple qui se calcule à la main.

Hum, oui tu as raison.

Mais c'est quand même localement intégrable, par continuité de ?

Oui c'est localement intégrable, mais ca ne suffit pas, puisque l'existence de la transformée de Laplace en 0 équivaut en fait à la convergence de l'intégrale de f.

Donc en fait, sans aucune autre information sur (hormis la continuité), on ne sait rien dire sur ?



Par conséquent, comme je pense avoir bien prouvé qu'il n'y a pas de souci au voisinage de , je dis l'ensemble de définition de est l'ouvert .


Qu'en dis-tu ?

C'est encore faux, il suffit de prendre une fonction qui n'est pas convergente avant un certain xo et de se ramener à envoyer xo sur 0 via une translation.
Un truc du genre f(x-xo) n'aura pas de transformation de Laplace avant x=xo.

Ce qu'on veut savoir c'est surtout à quoi ressemble le domaine de définition, par exemple est-ce un intervalle ? Doit il être ouvert, fermé ?etc.

Ok, ça se précise.


Faudrait que je fasse la question 1. avant alors.
Comment procéder ?

Travailles tu avec l'intégrale de Riemann ou avec l'intégrale de Lebesgue ?
Avec l'intégrale de Lebesgue la convergence équivaut à l'intégrabilité ce qui permet de conclure rapidement avec un argument tel que celui que tu as utilisé.

Moi, c'est plutôt Lebesgue.


Dire que converge signifie donc que converge.

Par conséquent, si alors ce qui implique donc .



Qu'en dis-tu ?

Dans la définition de la transformée de laplace, est-ce qu'il faut lire :

ou ou bien ?

otto m'ayant abandonné, y'a-t-il quelqu'un pour m'aider ?

C'est à peu près l'idée.
Sinon qu'est ce que ca change que l'on intègre sur [0,+oo[ ou ]0,+oo[ ?

Pourquoi "à peu près" ?



Sinon, il est vrai qu'un point est de mesure de Lebesgue nulle; ma question était de savoir quelle était la définition de la transformée de Laplace : 0 est-il inclus ou pas? cela dépend?

Prend la définition que tu veux elles sont équivalentes de toute façon ...

A peu près parce que j'aurais juste voulu montrer que |f| est intégrable si f est convergente.

En fait c'est ta définition de convergence de l'intégrale de f qui m'enerve un peu, je ne sais pas ce que tu entends par là, en général c'est pour l'intégration de Riemann, sinon c'est équivalent dans le cas de l'intégrale de Lebesgue, non ?

Au sens de Lebesgue en tout cas, voici ce qui figure dans mon cours : on dit qu'une fonction est intégrable si elle est mesurable et de module intégrable.


Pour être plus complet, on considère un espace mesuré et la fonction . D'une part la fonction est mesurable et d'autre part .

Après, je me demande si converge la fonction est intégrable ?

Ca veut dire quoi que l'intégrale converge ?

Dans le cadre de la théorie de Lebesgue il me semble que l'on étudie que les fonctions dont la partie positive et la partie négative ne sont pas simultanément d'intégrale infinie. J'imagine que ce que l'on appelle intégrale convergente dans ce cas (et à la différence avec l'intégration de Riemann) est le fait que les parties positives et négatives soient toutes 2 intégrables.

Si tel est le cas, alors c'est équivalent à l'intégrabilité de f.

Oups, j'avais pas vu ta réponse otto.


Ce que tu appelles partie positive et partie négative d'une fonction , c'est bien les deux fonctions et ?

Effectivement.

Il me semble que l'on définit les intégrales de fonctions non positives par ce petit truc.
L'intégrale de f est la différence de celle de f+ et de celle de f-, il faut donc que les 2 ne soient pas simultanément non intégrables, sinon on ne sait pas donner du sens à l'intégrale de f.

Ok, je vois.
On a montré qu'en fait, pour la théorie de Lebesgue, intégrable intégrable.

Dans ce cas, dire converge, ça signifie que les parties positives et négatives de la fonction sont intégrable ie que la fonction est intégrable.

Qu'en dis-tu ?

En fait c'est un peu ce que je te demande. Quand on parle d'intégrale convergente, parfois on ne sait pas bien quelle définition on a.

Souvent, on définit la convergence comme l'existence de la limite



Ce n'est pas équivalent à l'intégrabilité.

Par exemple, si F(x)=sin(x)/x n'est pas intégrable mais est convergente avec la définition de convergence que je donne ci-dessus.

Ainsi, je pense que tu devrais être sur de la définition de la convergence que tu as.

Dans mon cours, mon prof dit la chose suivante : est une intégrable semi-convergente mais non convergente au sens de Lebesgue.


Je pense donc que c'est bien cela car sauf erreur.

Ok, terminologie bizarre que de dire intégrable semi convergente, mais dans ce cas alors ce qu'il appelle convergent est ce que j'appelle intégrable depuis le début et ton idée de départ est bonne.

a+

Bonjour,
Je met mon grain de sel...En general la notion d'integrabilité que l'on considère c'est plutot si l'intégrale de |f| est finie ou non cela dit comme |f|=f+ + f- on s'y retrouve...

Ok, merci pour vos précisions.
Pourrai-t-on me guider pour la question 2. ?

Utilise la 1.
Est-il possible que tu aies un truc de la forme [a,b]U[c,d] ?

Déjà, ça ne peut être un intervalle du genre compact car si , en prenant , on a aussi la convergence de l'intégrale.

Donc je dirais que c'est déjà non borné à droite.

Donc nécessairement, c'est soit :

, ou où .


Je n'arrive pas à décider ensuite lequel des trois!

Salut,
peu importe, ce qui compte est que ce soit un intervalle non borné à droite.

D'ailleurs il me semble que plusieurs configurations sont possibles.

Tu peux aussi bien avoir un intervalle de convergence de la forme
[0,+oo) que de la forme (0,+oo) par exemple.

En fait, 0 appartient au domaine de convergence si et seulement si f est intégrable.

Si par exemple f(x)=1/(x^2+sqrt(x)) alors le domaine de convergence pour f sera de la forme [0,+oo) (sauf erreur).

Pour f(x)=1, le domaine de convergence sera (0,+oo).

Donc les deux configurations sont possibles.

Ok, et existe-t-il des cas ou le domaine de converge est tout entier ?

Une fonction à support compact doit fonctionner, non ?