Niveau Licence Maths 1e ann

suite réelle u(n) v(n)

Posté par
vita 15-10-08 à 17:06

Bonjour, je n'arrive pas à faire un excercice :

on a :
u(n+2) = (u(n+1)) + (u(n))

on pose v(n) = |(u(n)) - 2 |

et je dois montrer que v(n+2) 1/3 * (v(n+1) + v(n))

il y a une indication : inégalité triangulaire.

merci

Posté par re : suite réelle u(n) v(n) 15-10-08 à 17:31

On a:
$v_{n+2} =|\sqrt{\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n+1}}}-2|$
$v_{n+2}(\sqrt{\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n+1}}}+2 )=|(\sqrt{\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n+1}}}-2)(\sqrt{\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n+1}}}+2)|$
donc
$v_{n+2}(\sqrt{\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n+1}}}+2 )=|\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n+1}}-4|$
$v_{n+2}(\sqrt{\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n+1}}}+2 )=|\sqrt{u_n}-2+\sqrt{u_{n+1}}-2|$
$v_{n+2}(\sqrt{\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n+1}}}+2 )\leq v_n + v_{n+1}$

Cela donne l'inégalité avec 1/2 plutôt que 1/3
Remarque: si $u_0 = u_1 =0$ alors $u_n=0$ et $v_n = 2$ pour tout n et l'inégalité est fausse pour 1/3 donc ton exo est faux, mais avec 1/2 tout va bien

Posté par re : suite réelle u(n) v(n) 15-10-08 à 18:06

etcomment on fais pour faire apparaître le 1/2 ?
v(n+2) 1/2 * (v(n+1) + v(n))

Posté par re : suite réelle u(n) v(n) 15-10-08 à 18:08

ah non j'ai compris pour le 1/2

Posté par re : suite réelle u(n) v(n) 15-10-08 à 18:11

merci

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