Démonstration des résultats conjecturés sur la droite d'Euler et le cercle d'Euler.

énoncé: soit ABC un triangle dont le cercle circonscrit T a pour centre O. Les trois hauteurs [AD], [BE] et [CF] se coupent en H, orthocentre du triangle ABC. Le centre de gravité G du triangle est situé aux deux tiers de la médiane [ak] en partant du sommet A. A' est le point diamétralement opposé à A sur le cercle T.

1) démontrer que le quadrilatère BHCA' est un parallélogramme.

2) en déduire le centre de gravité du triangle AHA'.

3) montrer alors l'alignement des points O, H et G.
   Ces points appartiennent à la droite appelée droite d'EULER

4) démontrer que le quadrilatère KOPH est un parallélogramme de centre O'.

5) en déduire que le cercle de centre O' et de rayon [OK'] passe par P et D.
   on montrerait de même que de cercle passe par :
   - les milieux des trois côtés (K, L et M)
   - les pieds des trois hauteurs ( D, E et F)
   - les milieux des segments joignant les sommets à l'orthocentre (P, Q et R)
On appelle ce cercle le " cercle des neuf points" ou cercle d'euler.


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