[ TS ] Exercice exponentielle

Posté par sou71 sou71

Bonjour, j'ai quelque problème avec un exercice, je vous le présente :

Elimination d'un médicament
On décide de mesurer, en fonction du temps, la quantité de principe actif d'un médicament présent dans le sang d'un patient en traitement dans un hôpital.
* A l'instant t, exprimé en minutes, on note q(t) la quantité exprimé en milligrammes de ce principe actif, contenue dans le sang d'un patient.
* On admet que la fonction q est solution de l'équation différentielle.

(E) : 4y' + y= - 0,002t + 2,992
ou y est une fonction de la variable réelle t définie et dérivable sur [0 ; 1440] et y' sa fonction dérivée.

1.a. Résoudre l'équation (Eo) : 4y' + y = 0 sur [0 ; 1440].
b. Déterminer les 2 nombres réels a et b tels que la fonction g définie sur [0 ; 1440] par g(t) = at + b soit une solution particulière de l'équation différentielle (E).
c. Soit h une fonction définie et dérivable sur [0 ; 1440]. Démontrer que h est solution de (E) équivaut à (h - g) est solution de (Eo).
d. En déduire l'ensemble des solutions de (E).

2.a. Démontrer que la solution q de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale q(0) = 0 est la fonction définie sur [0 ; 1440]
par q(t) = 3 - 0,002t - 3e^(-t/4)
b. Calculer la dérivée de q sur [0 ; 1440].
c. Etudier les variations de q sur [0 ; 1440] et donner son tableau de variations.

3.a. Au bout de combien de temps, la quantité de principe actif est-elle maximale ?
b. Calculer la quantité de principe actif restant dans le sang d'un patient 24 heures après l'injection du médicament (arrondi à 10^-2 près).



Mes réponses :

1.a. (Eo) : 4y'+y=0 <--> 4y'= -y <--> y' = -4y
b. y' = -4y <--> y'= -1/4 y + 0

g(t)= at+ b --> a= -1/4 b=0

c. h-g solution de (Eo) <--> h solution de (E) ?

4(h-g)' + h-g = 0
<--> 4h' - 4g' + h - g = 0
<--> 4h' + h = 4g' + g

La je suis bloqué, je trouve pas de solutions,
merci d'avance pour votre aide.

Posté par tortue tortue

bonsoir

1a)   l'équation 4y'+y =0 s'écrit : y'=-y/4 et non (-4y)et l'équation différentielle y'=ky a comme solution y= C e^kx

Posté par sou71 sou71

oui, je viens d'y voir.

1.a y' = -1/4 y
donc f(x) = Ke^(-1/4 x) d'après mon cours ( f(x) = Ke^(ax) avec a = -1/4 ici )

1.b. on pose y=at+b et y'=a

on a : 4a + at + b = -0,002t + 2,992
(a + 4)t + b = -0,002t + 2,992

par identification on a :

a + 4 = -0,002 <--> a= -4.002
b = 2,992

C'est bien sa ?

Posté par tortue tortue

l'identification n'est pas bonne je dirai que
4a + b =2,992 et
at = -0.002t

là tu peux trouver les coefficients

Posté par sou71 sou71

donc je reprend

avec y=at+b et y'=a

on a : 4a + at + b = -0,002t + 2,992
at + 4a + b = -0,002t + 2,992

par identification on a :

at = - 0.002 t <--> a = -0.002
4a + b = 2.992 <--> 4 x (-0.002) + b = 2.992
<--> b= 2.992 + 0.008 = 3

donc a = -0.002 et b= 3

C'est bien sa ?

Posté par tortue tortue

oui c'est cela

Posté par sou71 sou71

ok, pour la question c. , je suis pas arrivé à aller plus loin que sa, vous auriez une indications ? merci.

Posté par tortue tortue

je cherche

Posté par tortue tortue

h-g solution de 4y'-y=0 signifie que :

4(h-g)'- ..................=0  développe  ensuite cette expression

Posté par sou71 sou71

Merci

donc je reprend :

h-g solution de 4y'-y=0 signifie que :

   4(h-g)' + h - g = 0
4h' - 4g' + h - g = 0
4h' + h = 4g' + g

     on a g(t) = at+b       on remplace :
4h' + h = 4a + at + b

  d'après la question 1.b.  on a 4a + at + b = - 0.002 + 2.992
     on remplace:
4h'+h = - 0.002 + 2.992

h solution de (E) : 4h'+h = - 0.002 + 2.992 équivaut donc à h-g solution de (Eo)

     C'est bon ?

Posté par sou71 sou71

Question 1.d. , j'ai pas compris qu'es qu'il fallait faire. Pour les solutions, c'est des nombres qu'il faut ou bien des expressions ?

Posté par tortue tortue

oui c'est bon

Posté par tortue tortue

puisque h-g est solution de l'équation E₀, on a h-g = C e^1/4x
donc h= g + Ce^1/4x=-0,002t+3+ C e^1/4x

Posté par tortue tortue

il faut lire C e^-1/4t à la place de C e^1/4x

Posté par sou71 sou71

Il faut trouver (à la question 2.a)  q(t) = 3 - 0,002t - 3e^(-t/4)

C= 3 ici ?

Posté par tortue tortue

je pense plutôt C =-3

Posté par sou71 sou71

oui exact

Posté par sou71 sou71

j'ai encore besoin d'une précision pour la 1.d, voila ce que j'ai fait :

On a h solution de (E) ssi h-g est solution de (Eo) ssi h-g = Ce^(-1/4t)

Posté par tortue tortue

Donc h=g+Ce^(-1/4)t et tu remplaces g par la valeur trouvée précédemment.
C'est cette expression qui est solution de l'équation E.

Posté par sou71 sou71

oui, merci bien

Posté par tonio5911 tonio5911

bonsoir

jai cet exercice a faire mais je suis bloqué a la question 2.a si qq'un peut me venir en aide

je vous en remercie d'avance.

a bientot

Posté par Tara Tara

+-
Bonjour je suis sur le même devoir.... J'ai effectivement trouvé les même résultats que vous concernant les autres questions. Mais je suis bloquée a la question 2)a.
Vraiment loquée.
Merci de m'aider

Posté par Tara Tara

Voilà ce que j'ai fait:
On sait que g(t) est solution de (E).
et que si (h-g) solution de (E), alors h= g+ ke^(-1x/4) .

j'ai écrit:  h= g+ ke^(-1x/4)
             h= -0,OO2t + 3 + ke^(-1x/4)
Ce qui donne k=3
mais je suis sencée trouver: h= -0,OO2t + 3 + ke^(-1t/4).
Voilà c'est juste ce t qui me dérange...je me suis surement trompée.