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[ TS ] Exercice exponentielle
Bonjour, j'ai quelque problème avec un exercice, je vous le présente :
Elimination d'un médicament
On décide de mesurer, en fonction du temps, la quantité de principe actif d'un médicament présent dans le sang d'un patient en traitement dans un hôpital.
* A l'instant t, exprimé en minutes, on note q(t) la quantité exprimé en milligrammes de ce principe actif, contenue dans le sang d'un patient.
* On admet que la fonction q est solution de l'équation différentielle.
(E) : 4y' + y= - 0,002t + 2,992
ou y est une fonction de la variable réelle t définie et dérivable sur [0 ; 1440] et y' sa fonction dérivée.
1.a. Résoudre l'équation (Eo) : 4y' + y = 0 sur [0 ; 1440].
b. Déterminer les 2 nombres réels a et b tels que la fonction g définie sur [0 ; 1440] par g(t) = at + b soit une solution particulière de l'équation différentielle (E).
c. Soit h une fonction définie et dérivable sur [0 ; 1440]. Démontrer que h est solution de (E) équivaut à (h - g) est solution de (Eo).
d. En déduire l'ensemble des solutions de (E).
2.a. Démontrer que la solution q de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale q(0) = 0 est la fonction définie sur [0 ; 1440]
par q(t) = 3 - 0,002t - 3e^(-t/4)
b. Calculer la dérivée de q sur [0 ; 1440].
c. Etudier les variations de q sur [0 ; 1440] et donner son tableau de variations.
3.a. Au bout de combien de temps, la quantité de principe actif est-elle maximale ?
b. Calculer la quantité de principe actif restant dans le sang d'un patient 24 heures après l'injection du médicament (arrondi à 10^-2 près).
Mes réponses :
1.a. (Eo) : 4y'+y=0 <--> 4y'= -y <--> y' = -4y
b. y' = -4y <--> y'= -1/4 y + 0
g(t)= at+ b --> a= -1/4 b=0
c. h-g solution de (Eo) <--> h solution de (E) ?
4(h-g)' + h-g = 0
<--> 4h' - 4g' + h - g = 0
<--> 4h' + h = 4g' + g
La je suis bloqué, je trouve pas de solutions,
merci d'avance pour votre aide.
bonsoir
1a) l'équation 4y'+y =0 s'écrit : y'=-y/4 et non (-4y)et l'équation différentielle y'=ky a comme solution y= C ekx
oui, je viens d'y voir.
1.a y' = -1/4 y
donc f(x) = Ke^(-1/4 x) d'après mon cours ( f(x) = Ke^(ax) avec a = -1/4 ici )
1.b. on pose y=at+b et y'=a
on a : 4a + at + b = -0,002t + 2,992
(a + 4)t + b = -0,002t + 2,992
par identification on a :
a + 4 = -0,002 <--> a= -4.002
b = 2,992
C'est bien sa ?
l'identification n'est pas bonne je dirai que
4a + b =2,992 et
at = -0.002t
là tu peux trouver les coefficients
donc je reprend
avec y=at+b et y'=a
on a : 4a + at + b = -0,002t + 2,992
at + 4a + b = -0,002t + 2,992
par identification on a :
at = - 0.002 t <--> a = -0.002
4a + b = 2.992 <--> 4 x (-0.002) + b = 2.992
<--> b= 2.992 + 0.008 = 3
donc a = -0.002 et b= 3
C'est bien sa ?
ok, pour la question c. , je suis pas arrivé à aller plus loin que sa, vous auriez une indications ? merci.
h-g solution de 4y'-y=0 signifie que :
4(h-g)'- ..................=0 développe ensuite cette expression
Merci
donc je reprend :
h-g solution de 4y'-y=0 signifie que :
4(h-g)' + h - g = 0
4h' - 4g' + h - g = 0
4h' + h = 4g' + g
on a g(t) = at+b on remplace :
4h' + h = 4a + at + b
d'après la question 1.b. on a 4a + at + b = - 0.002 + 2.992
on remplace:
4h'+h = - 0.002 + 2.992
h solution de (E) : 4h'+h = - 0.002 + 2.992 équivaut donc à h-g solution de (Eo)
C'est bon ?
Question 1.d. , j'ai pas compris qu'es qu'il fallait faire. Pour les solutions, c'est des nombres qu'il faut ou bien des expressions ?
j'ai encore besoin d'une précision pour la 1.d, voila ce que j'ai fait :
On a h solution de (E) ssi h-g est solution de (Eo) ssi h-g = Ce^(-1/4t)
Donc h=g+Ce(-1/4)t et tu remplaces g par la valeur trouvée précédemment.
C'est cette expression qui est solution de l'équation E.
bonsoir
jai cet exercice a faire mais je suis bloqué a la question 2.a si qq'un peut me venir en aide
je vous en remercie d'avance.
a bientot
+-
Bonjour je suis sur le même devoir.... J'ai effectivement trouvé les même résultats que vous concernant les autres questions. Mais je suis bloquée a la question 2)a.
Vraiment loquée.
Merci de m'aider 
Voilà ce que j'ai fait:
On sait que g(t) est solution de (E).
et que si (h-g) solution de (E), alors h= g+ ke^(-1x/4) .
j'ai écrit: h= g+ ke^(-1x/4)
h= -0,OO2t + 3 + ke^(-1x/4)
Ce qui donne k=3
mais je suis sencée trouver: h= -0,OO2t + 3 + ke^(-1t/4).
Voilà c'est juste ce t qui me dérange...je me suis surement trompée.
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