bonjour,
2a) calcule f'(x)
et reporte f(x) et f'(x) dans (E')
pour info m=1/2 et p=1
  

merci pour la méthode, j'ai trouvé com dérivé pour f(x) :

(-1/2e(-x/2)) (mx(o carré) + px) + (2mx+p) (e(-x/2))  ?

OK

et ensuite je procède comment il faut que je simplifie ? parce que ça donne une expression "énorme"  

maintenant tu calcules
2f'(x)+f(x)

oui mais je n'y arrive pas, je ne sais pas par quoi commencer `

tu as trouvé
f'(x)=(-1/2e(-x/2)) (mx(o carré) + px) + (2mx+p) (e(-x/2))
je pense que tu peux trouver
2f'(x)=

2f'(x)= -mx(o carré)e(-x/2) -pxe(-x/2) + 4mxe(-x/2) + 2pe(-x/2)

pourquoi as-tu développé ???

Je croyais que ça pouvais apporter quelquechose mais 2f'(x) c 'est très simple dans ce cas :
2f'(x)= 2(-1/2e(-x/2)) (mx(o carré) + px) + 2(2mx+p) (e(-x/2)) non ?

2f'(x)=-e(-x/2)) (mx(o carré) + px) + 2(2mx+p) (e(-x/2))  c'est encore plus simple
maintenant calcule
2f'x)+f(x)=

Alors:

2f'(x) + f(x) = -e(-x/2)(mx(o carré) + px) + 2e(-x/2) (2mx+p) + e(-x/2)(mx(o carré) + px)

ça se simplifie  reste alors :

2f'(x) + f(x) = 2e(-x/2) (2mx+p)   mais le 2 devant l'exp me gène .

2f'(x) + f(x) = 2e^(-x/2) (2mx+p)  OK
2e^(-x/2) (2mx+p) doit être égal à e^(-x/2)(x+1)
d'où
2(2mx+p)= (x+1) ( j'avais oublié le 2)
4mx=x  m=1/4
2p=1   p=1/2

Merci, c'est bien ce que je pensais ^^

J'ai encore un peu besoin d'aide pour la 3) b) qui fait suite à celle-ci : Soit g une fonction définie et dérivable sur R.
Montrer que g est sol de l'éq  (E') si et seulement si g-f est sol de l'éq (E).

je ne sais pas comment commencer non plus vu qu'on ne connait pas g

(E) 2y'+y=0 et (E') 2y'+y=e^-x/2(x+1)
2f'(x)+f(x)=e^-x/2(x+1)
si g-f est sol de l'éq (E).alors
2(g-f)'+(g-f)=0
2g'-2f'+g-f=0
2g'+g-(2f'+f)=0
2g'+g=2f'+f=e^-x/2(x+1) donc g est solution de (E')
réciproquement
si g est solution de (E') alors
2g'+g=e^-x/2(x+1)=2f'+f
2g'+g-2f'-f=0
2g'-2f'+ g-f=0
2(g'-f')+(g-f)=0
2(g-f)'+(g-f)=0 donc  (g-f) est solution de (E)

Ok  merci et ensuite il demande de résoudre (E') donc :

(E') 2y'+y=e-x/2(x+1)
donc y' = e(-x/2) (x+1) -1/2y ?

bon j'ai réussis finalement mais j'ai un autre problème pour étudier les variations de h(x) = 1/4e(-x/2)(x^2+2x)

ma dérivé doit être sûrement fausse quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

quelles sont les solutions de (E')?
h'(x)=(1/4)[(-1/2)e^-x/2(x²+2x)+e^-x/2(2x+2)]
=(1/4)[e^-x/2[-(1/2)(x²+2x)+2x+2]=(1/4)e^-x/2[(-x²/2) +x +2)

alors com sol jai trouvé :

g(x) = ke(-x/2)+f(x)
g(x) = ke(-x/2) + e(-x/2) (1/4+1/2x) avec k appartient à R
donc ...

et pour l'étude de variation de h(x) je trouve à partir de la dérivé qu'elle est décroissante - l'inf, 0 et croissante en 0, + l'inf   je ne pense pas que ça soit correct ?

euh pardon c l'inverse pour les variations

OK pour les solutions de (E')
concernant étude de h(x)  des erreurs ci joint courbes
en bleu celle représentant h et en rouge celle de la dérivée

Oui effectivement j'ai compris mon erreur il fallait que je calcul les solutions du polynômes pour ensuite déterminer le signe de celui-ci c'est donc décroissant, croissant et décroissant

Il me reste une dernière question de calcul à nouveau concernant une étude de position entre deux courbe, celle de h(x) et celle de la fonction exp(-x/2) donc il faut faire la différence des deux je trouve ça :

(1/4)x^2e(-x/2) + (2/4)xe(-x/2) - e(-x/2) est-ce juste ?

en regardant ta réponse pour g(x),une erreur m'a échappé...tu as oublié le x²
g(x) = ke(^-x/2) + e^(-x/2) (1/4x²+1/2x) avec k appartient à R
g(x)=ke^-x/2+(1/4)e^-x/2(x²+2x)
on trouve h(x)...
ensuite
pourquoi développes-tu ??
rappel pour étudier la position relative de deux courbes
on étudie le signe de leur différence
h(x)-e^-x/2=e^-x/2(1/4)( x²+2x-4)

oui c'était une erreur de frappe de ma part; dsl
mais comment trouves tu que h(x)-e(-x/2) = e(-x/2)(1/4)( x2+2x-4) je ne comprends pas ce passage ...

h(x)-e^-x/2=(1/4)e^-x/2(x²+2x)- 4/4(e^-x/2)=(1/4)e^-x/2(x²+2x-4)

donc d'après le tableau de signe je trouve que h(x) est o dessus sur -l'inf, sol 2 et sol 1, plus l'inf  et en dessous entre les racines du polynôme

Enfin, je dois calculer la lim h(x) en moins l'inf  et plus l'inf seulement je ne tombe que sur des indéterminations ..

en bleu h(x) et en rouge e^-x/2

h(x)=(1/4)e^-x/2(x²+2x)
h(x)=(1/4)x²(1+2/x)/e^x/2
lim de 1+2/x =1 qd x tend vers ±

lim de x²/e^x/2=0 qd x tend vers +

lim de x²e^-x/2=+ qd x tend vers -
quand x tend vers -
en effet x²tend vers +
et e^-x/2tend vers +
sauf erreur