Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Fonction LogarithmeTopics traitant de Fonction Logarithme [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Une famille de courbes TS

Posté par
baka 08-01-09 à 22:00

Bonjour tout le monde,

J'ai un problème avec un exo, j'espère que vous pourez m'aider.

Dans tout le problème n désigne un entier naturel non nul.
A. gn(x)=(1+x)e^x-n

1. Determiner la dérivée de gn.Tableau de variations et limites.
g'n=e^x(x+2)      sur ]-;-2[ gn décroissante
                         sur ]-2;+[ gn croissante
lim gn=0                         lim gn=+  
x-                         x+

2. Montrer que gn s'annule pour une unique valeur n, et que n est positif ou nul. (c'est le théorème des valeurs intermédiaires))

3. Montrer que n=ln (n/(1+n)) (fait) et que 0nln n (ça suis pas arrivé)

4.a) Montrer que,pour tout réel x strictement positif,
on a : lnxx-1 (1)   (fait)

b) Déduire de (1) le signe de gn(lnn)
c) Justifier que 1/2ln nn
Quelles sont les limites des suites de terme général n et n/n.

Voila je bloque pour les qts 2, 4b) et 4c) ^^   Merci d'avance

Posté par
olive_68re : Une famille de courbes TS 08-01-09 à 22:12

La limite de gn(x) en - n'est pas 0 mais -n

Posté par
cailloux Correcteurre : Une famille de courbes TS 08-01-09 à 22:12

Bonjour,

Un début:

3) g(0)=1-n\leq 0 puisque n\in\mathbb{N}^* donc \alpha_n\geq 0

et \alpha_n=\ln (n)-\ln (1+\alpha_n)\leq \ln(n) puisque \alpha_n\geq 0

Posté par
cailloux Correcteurre : Une famille de courbes TS 08-01-09 à 22:21

4)b) g_n[\ln (\sqrt{n})]=[1+\ln (\sqrt{n})]-n\leq \sqrt{n}\sqrt{n}-n d' après 4)a)

donc g_n[\ln (\sqrt{n})]\leq 0

4)c) on en déduit \ln (\sqrt{n})\leq\alpha_n

c' est à dire \frac{1}{2}\ln (n)\leq\alpha_n

On a donc \lim_{n\to +\infty}\alpha_n=+\infty (par comparaison)

et \frac{1}{2}\frac{\ln (n)}{n}\leq \frac{\alpha_n}{n}\leq \frac{\ln (n)}{n}

les gendarmes permettent d' écrire: \lim_{n\to +\infty}\frac{\alpha_n}{n}=0

Posté par
olive_68re : Une famille de courbes TS 08-01-09 à 22:21

Après je suis pas sur mais c'est ce que je pense:

gn(n)=(1+(n)e(smb]alpha[/smb]n-n=0
donc (1+(n)e(smb]alpha[/smb]n=n
Et n1,comme enest positif et donc n aussi,alors n+1 est positif donc n0

Posté par
cailloux Correcteurre : Une famille de courbes TS 08-01-09 à 22:22

Une erreur de frappe à la première ligne:

g_n[\ln (\sqrt{n})]=[1+\ln (\sqrt{n})]\sqrt{n}-n\leq \sqrt{n}\sqrt{n}-n

Posté par
bakare : Une famille de courbes TS 08-01-09 à 22:46

Merci beaucoup pour l'aide!

Par contre cailloux je comprends pas comment t'as pu utilisé la qt 4)a) pour trouver le nn -n

Posté par
cailloux Correcteurre : Une famille de courbes TS 08-01-09 à 22:58

g_n[\ln (\sqrt{n})]=[1+\ln (\sqrt{n})]\sqrt{n}-n

et on a démontré que pour tout x>0, \ln(x)\leq x-1

pour x=\sqrt{n}, on obtient \ln(\sqrt{n})\leq \sqrt{n}-1

ou bien 1+\ln (\sqrt{n})\leq \sqrt{n}

on en déduit [1+\ln (\sqrt{n})]\sqrt{n}\leq \sqrt{n}.\sqrt{n}

[1+\ln (\sqrt{n})]\sqrt{n}-n\leq n-n

c' est à dire g_n[\ln(\sqrt{n})]\leq 0

Posté par
bakare : Une famille de courbes TS 09-01-09 à 19:19

C'est bon j'ai compris!!
Merci pour tout, je vais pouvoir finir cet exo tranquillement maintenant.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !