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étude de ln(x)/x
Problème 2 : on sait que pour a et b réels différents on a les égalités a+b=b+a, axb=bxa. On dit que l'addition et la multiplication sur J sont commutatives ! Ce n'est pas le cas pour la soustraction et la division. Est-ce le cas pour l'élévation à la puissance ?Autrement dit est ce que a^b=b^a (E) pour tous réels a et b. Outre une condition que nous aborderons ensuite ? quelques exemples montrent que c'est faux (2^3=/3^2). Mais existe-t'il des couples de réels distincts (à, b) pour lesquels c'est vrai ? La réponse est oui, par exemple le couple (2, 4). Le but de ce problème est l'étude complète de cette question.
I} justifiez que les réels a et b doivent être éléments de ]0 ;+oo[ . Montrez que (E) : ln(a)/a =ln(b)/b.
II} On considère la fonction f définie sur ]0 ;+oc[ par
f(x)=ln(x)/x
1. établissez les limites de f sur son domaine de définition. Quelles conclusions graphiques peut-on en tirer 7
2, étudiez les variations de f.
3. résumez les résultats précédents dans un tableau.
4. démontrez que si (E) est vérifiée ni a, ni b n'est un réel de l'intervalle ] 0 ; 1 [.
5, justifiez que (E) possède des solutions (a,b) vérifiant l
réponsse :
I) j'ai ln(a)/a =ln(b)/b ,
b*ln(a) = a*ln(b), grasse aux propriétés du logarithmes ln(a)^b=ln(b)^a
aprés je trouve pas ...
II)
1) pour les limites je trouve des formes indéterminé (0/0) et (+infinie/+infinie)
Pour la conclusion graphique(II.1) on trouve que de 0 a 1 la fonction est négatif et de 0 a +infinie elle est positif .
pour l'étude de la fonction elle croit jusqu'a x=3 puis décroit pour tendre vers 0
I) j'ai ln(a)/a =ln(b)/b ,
b*ln(a) = a*ln(b), grasse aux propriétés du logarithmes ln(a)^b=ln(b)^a
aprés je trouve pas ...
Il fallait dire :
"j'ai ln(a)/a =ln(b)/b grâce aux propriétés du logarithmes ln(a^b)=ln(b^a)"
Dans I, il n'y a pas d'autre questions après ! Mais il y en avait avant !
justifiez que les réels a et b doivent être éléments de ]0 ;+oo[
Il fallait dire que l'on sait la signification de a^b avec b réel quelconque seulement si a > 0.
Si a < 0 on ne sait définir a^b que si b est un élément de
1) pour les limites je trouve des formes indéterminé (0/0) et (+infinie/+infinie)
Lorsque
Lorsque
Les conclusions graphiques à en tirer sont classiques ! Il y a deux asymptotes, la droite d'équation x=0 et la droite d'équation y=0 !
pour l'étude de la fonction elle croit jusqu'a x=3 puis décroit pour tendre vers 0
Comment as-tu trouvé ce résultat bizarre ? As-tu calculé la dérivée de f ? Si tu t'es contenté de regarder ta calculette cela vaut 0 ! Ce que tu vois sur ta calculette peut t'aider, mais n'est nullement une preuve ! En fait la fonction croît jusqu'à x=e, puis décroît. Si tu savais cela, il serait bon de ne pas confondre e et 3 !
Qu'as-tu fait pour la question 4 ?
Je ne comprends pas la question 5 !
pour la dérivé je trouve f'(x)=(1-ln(x))/x²
je fais pour (1-ln(x))/x²=0
donc ln(x)/x²=1/x²
alors ln(x)=1
donc x=e=2.7
pour la 4 j'ai mis car si x appartien a l'intervale 0,1
le ln(x) est négatif et donc (E) n'est pas vérifié
Il fallait dire que l'on sait la signification de a^b avec b réel quelconque seulement si a > 0.
Si a < 0 on ne sait définir a^b que si b est un élément de Z, et si a=0, seulement si b est élément de N* . Le problème se limite donc forcément aux réels strictement positifs.
j'ai pas trés bien compris l'explication
En fait il n'y a rien à comprendre ! En quatrième on a appris a^n (n entier >0). Et peu de temps après a^0 et a^(-n) (pour a non nul). En première, ou peut-être en terminale, on a appris les puissances rationnelles pour les nombres strictement positifs ! Et après avoir appris l'exponentielle, on a appris les puissances irrationnelles pour les nombres positifs. Ce n'est pas la peine de démontrer qu'on ne peut pas élever un nombre négatif à une puissance non entière ; tout simplement, personne ne sait ce que cela veut dire, il ne peut donc en aucune manière en être question !
ok 
Pour cette question 5 j'ai mis :
(I) : 2^4 = 4^2 = 16
(E) : ln(2) / 2 = ln(4) / 4
Le couple ( a ; b ) = ( 2 ; 4 ) vérifie à la fois (I) et (E)
pour la 4 j'ai mis car si x appartien a l'intervale 0,1
le ln(x) est négatif et donc (E) n'est pas vérifié
Cela n'explique pas ce que ça doit expliquer ! Ce n'est pas bon !
Pour cette question 5 j'ai mis :
(I) : 2^4 = 4^2 = 16
(E) : ln(2) / 2 = ln(4) / 4
Le couple ( a ; b ) = ( 2 ; 4 ) vérifie à la fois (I) et (E)
Le couple (2,4) est donné dans l'énoncé ! Il faut trouver toutes les solutions !!!
Bonsoir j'aimerai bien voir l'étude de signe de cette fonction.
Car sa dérivée me semble être ((1/x)-ln(x)/x²) mais j'arrive pas à faire son étude de variation !
Si quelqu'un peut aider !
Intuitivement je ferait ça même si j'en doute: 1/x-ln(x)=0 donc -ln(x)=1/x <-> -x=e(1/x). Mais je ne vois pas où ça nous mène car dans un tableau il nous faut une valeur exacte il me semble.
Merci !
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