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Volume d'un tonneau
Bonjour.
Excusez-moi pour le dérangement mais je bute depuis quelques heures sur un problème. Je dois calculer le volume d'un tonneau (barrique) dont nous ne connaissons que certaines données.
D : le diamètre au centre du tonneau (donc le diamètre le plus large)
L : la hauteur du tonneau
R : la rayon de courbure du profil du tonneau (il s'agit d'un tonneau dont le profil est un arc de cercle)
Après de multiples recherches, j'ai bien entendu trouvé le théorème de Kepler V=L/3
(Smini+2*Smaxi)
avec Smaxi=
D2/4
Smini=d2/4
d a été calculé simplement à l'aide de Pythagore.
Or, il faut que je trouve une formule qui me permettrai de confirmer la formule de Kepler, ou de l'infirmer, en comparant des résultats numériques.
Je suis parti du principe qu'il s'agissait d'un solide de révolution donc j'ai voulu calculer le volume du tonneau par un calcul d'intégrale de l'équation de la courbe... Mais impossible de trouver une formule intégrable d'arc de cercle.
J'ai calculé l'aire de la coupe du tonneau (l'aire en blanc sur le dessin ci-joint) mais peut-on simplement lui appliquer une révolution en le multipliant par 2 ? Je ne pense pas...
Quelqu'un aurait-il une idée ou des éléments qui pourraient m'avancer ?
D'avance merci pour votre contribution.
Cordialement.
MA
Bonjour Micaub
Si j'avais à calculer le volume de ton tonneau, je le poserai debout, origine du repère au centre du tonneau (je ne calculerai que la moitié du volume, celle au dessus du plan xOy qui contient le plus grand disque) et je ferai une intégrale pour z allant de 0 à L/2 des éléments de volume, chacun étant un cylindre droit de hauteur dz et de diamètre le diamètre du tonneau à la hauteur z...
je n'ai pas essayé mais cela doit marcher
alain
Bon,, sauf erreur de ma part, ça doit effectivement marcher.
Tu coupes ton tonneau en deux au niveau de son plus grand diamètre et tu le mets "debout" sur le plan (xOy). Il coupe le plan (xOy) selon le cercle de centre O de rayon D/2.
Le petit cercle du haut du tonneau est à l'altitude z=L/2
Donc on fait varier z de 0 à L/2.
Si on coupe le tonneau à l'altitude z, on obtient un disque (centré sur Oz) dont le rayon vaut :
Rz=
(formule obtenue un faisant un petit dessin de géométrie plane, coupe du tonneau suivant le plan (xOz) par exemple).
Il te reste à intégrer, pour z allant de 0 à L/2, la quantité Rz2dz
et à multiplier le résultat par 2 pour avoir le volume de ton tonneau
Pour ce qui est de faire "tourner" une surface pour engendre un volume, là il faut appliquer le théorème de Guldin, et donc déterminer le centre de gravité du demi tonneau que tu fais tourner.
Alain
Merci beaucoup Alain.
Je prenais en effet le problème du mauvais côté : je n'avais en effet pas remarqué que l'on pouvait connaître le rayon du cercle du tonneau en fonction de sa hauteur. Pourtant, un simple Pythagore permet d'y aboutir... J'ai réussi à faire mon calcul 
En ce qui concerne Guldin, je vais tenter de m'y pencher également car ça m'intéresse aussi. Ce qui est amusant, c'est que nous avons étudié ce théorème en "résistance des matériaux" mais il ne nous servait qu'à calculer la position du centre de gravité d'une poutre...
En tout cas, encore merci Alain, j'ai pu intégrer le calcul dans mon tableur.
Au plaisir.
MA
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