Bonjour,

Une figure ?



Je dis que les trapèzes AFGD et FBCG ont chacun une aire égale à la moitié de celle du trapèze ABCD

La question est : quelle est la longueur FG sachant que AD = 70 m et que BC = 230 m

De très nombreuses manières de résoudre cet exercice ; c'est pour cela que c'est une recherche...
Où en es-tu de tes recherches ?

Alors ma premiere idée a été  le  Théorème de la droite des milieux dans le triangle EFG :
Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, elle est parallele au troisieme coté et mesure la moitié de celui-ci.
Donc AD/ FG= ED/DG


Sauf qu'on connait que AD et BC donc cela ne fonctionne pas.

Puis ma deuxieme idée a été de calculer l'aire du trapèze:
((B-b)x h) / 2= ((230-70)x h)/2= (160xh)/2
Et on ne peut aller plus loin car nous ne connaissons pas la hauteur..


Nous connaisons que peu de chose:
_ AD= 70 m
_ BC= 230 m
_ Indication: On peut utiliser une configuration de Thales.

Pour l'instant je n'ai pas d'autre idée.. mais si j'en ai une je vous en ferai part.
Cependant tous conseils, je suis prenante.

C'est évidemment une excellente idée de t'intéresser à l'aire des trapèzes...
A la condition de ne pas te tromper !

Aire d'un trapèze : (demi-somme des bases) hauteur

Qu'il reste des inconnues (comme la hauteur) n'est peut-être pas gênant puisqu'on s'intéresse à des rapports de surfaces ou à des rapports de longueurs...

J'irais bien jeter un coup d'œil du côté des triangles semblables, des coefficients de similitude ou encore coefficients d'agrandissement ou de réduction, et des aires de figures semblables...

On suppose que les triangles EAD et EFG sont semblables.
On peut alors supposer que:
A

AAAaah oups je suis maladroite, excusez moi je finis..

On suppose que les triangles EAD et E'FG sont semblables. (E et E' etant confondu..)
On peut alors supposer que:
ê = ê', â = ^f et ^d = ^g (^ = angle..)
Soit A et D deux points respectifs de ( EF) et (EG) tels que:

Noon.. excusez moi mais je comprends pas.. j'ai pas encore etudié les triangles semblables c'est sans doute pour sa que mon professeur nous a donné cette exercice..
Mais je ne comprends pas j'ai trouvé une demonstration, qui est la suivante, dans mon livre mais je comprends pas:

On suppose que les triangles ABC et A'B'C sont semblables.

On peut alors supposer que:
â = â', ^b = ^b' et ^c = ^c'.
Soit B1 et C1 deux points respectifs de (A'B') et (A'C')tels que:

A'B1 = AB  et A'C1 = AC. (1)

Les triangles ABC et A'B1C1 ont donc en commun deux longueurs de deux côtés adjacents à un même angle â: ils sont donc isométriques.

D'apres la propriété, on a aussi:
B1C1= BC et ^b = ^b1

Or ABC= A'B'C': donc les mesures des angles A'B1C1 et A'B'C' sont egales, donc les côtés (B1C1) et (B'C') sont parallèles.
On obtient alors une configuration de Thalès constituée des triangles A'B'C' et A'B1C1.
On applique le théorème de Thales et on obtient:

A'B1/A'B' = A'C1/A'C' = B1C1/B'C'.

Des relations (1), on en deduit finalement:
AB/A'B' = AC/A'C' = BC/B'C'

Il y a proportionnalité entre les longueurs des côtés homologues des deux triangles ABC et A'B'C'.

Tu viens de copier une démonstration d'une propriété de triangles semblables. Cette démonstration utilise une "configuration de Thalès" qui est tout ce dont on a besoin ici.
Mais il est vrai que les triangles EAD, EFG et EBC sont trois triangles semblables.

Tu as appris en troisième au collège quels sont les rapports des surfaces de deux figures semblables.
Soit deux triangles semblables tels que toutes les mesures du second s'obtiennent en multipliant par k les mesures du premier ; alors l'aire du second est égale à k² fois l'aire du premier.

Ceci est très facile à redémontrer si tu as un doute :
aire du premier : (base du premier hauteur du premier) / 2
et comme
base du second = k base du premier
et
hauteur du second = k hauteur du premier
alors
aire du second = (base du second hauteur du second) / 2
aire du second = [(k base du premier) (k hauteur du premier)] / 2
aire du second = k² [(base du premier hauteur du premier) / 2]
aire du second = k² (aire du premier)

Voilà qui pourrait se révéler très utile pour le cas qui t'intéresse...

Aaaaah
Je comprends pas.. depuis ce matin je tourne en rond..

J'essaye de remplacer la demonstration par les triangles EFG et EBC mais je me perds..
Sa faiit 4 jours que je m'arrache les cheveux a comprendre cette exercice..

Vous m'avez dit que la demonstration est bonne car elle utilise une configuration de Thales, je l'ai remplacé et je trouve sa:

On suppose que les triangles EBC et  EFG sont semblables.

On peut alors supposer que:
ê = ê'/ ^b=^f et ^c=^g
Soit F et G  deux points respectifs de (EB) et (EC)tels que:

EF = FB  et  EG= GC ??????????? (1)

Les triangles EBC et EFG  ont donc en commun deux longueurs de deux côtés adjacents à un même angle ê : ils sont donc isométriques.

D'apres la propriété, on a aussi:
FG= BC et ^b = ^f

Or EBC= EFG : donc les mesures des angles EFG et EBC sont egales, donc les côtés (FG) et (BC) sont parallèles.
On obtient alors une configuration de Thalès constituée des triangles EBC et EFG..
On applique le théorème de Thales et on obtient:

EF/EB = EG/EC = FG/BC.

Des relations (1), on en deduit finalement:
?????

Il y a proportionnalité entre les longueurs des côtés homologues des deux triangles EBC et EFG.



Puiis :

Aire du premier: (B1( Base du premier)x H1)/2
Aire du premier: (230 x h1)/2


Base du second: k x 230
Hauteur du second: k x h1

Aire du second: ( (k x 230) x k x h1)/2
Aire du second: k²((230 x h1)/2)
Aire du second: K² x ( A1)

Maiis comment fait on apres?
Sa doit rester comme ça?
On ne coonnait ni K, ni la hauteur du premier ( h1), ni l'aire du premier (A1)

Un gros coup de pouce...

On va supposer que l'aire du triangle EAD (ma figure du 05-03 à 09 h 17) est A
On ne connaît pas A et on ne le connaîtra pas ; inutile de chercher à le calculer !

Quelle est, en fonction de A :
. l'aire du triangle EBC
. et donc (toujours en fonction de A) l'aire du trapèze ABCD

Le reste se fait en poursuivant cette idée...

Comment sa en fonction de A?

Puiis dans votre post: Posté le 05-03-09 à 15:42
Où vous dites :