developpement limité

Posté par eleonore eleonore

bonjour, voila est ce quelqu'un pourrait m'expliquer comment trouver le DL à des ordres élevés comme 6 ou 7 des fonctions arsin(x) , arccos(x), arctan(x) sans passer par la formule de taylor
j'ai essayé d'utiliser la dérivée et d'intégrer successivement mais je bloque



merci de votre aide

Posté par Priam Priam

Dans les formulaires de développements limités usuels, le terme général d'ordre n est explicité; il permet de calculer le terme d'un ordre quelconque.

Posté par Ulusse Ulusse

Pour Arcsin et Arcos, tu peux utiliser le fait que arcsin'(x) = (1-x)^(-1/2)

ensuite, tu connais le développement limité de
x->(1+x)^a                
pour a réel (il faut utiliser la formule de taylor, mais c'est plus facile comme ça)

et ensuite tu intègres le DL en remplaçant bien sûr a par -1/2 et x par -x.
De même pour arcos.

Pour arctan, il y a plus simple

arctan'(x) = 1/(1+x²)

tu connais bien sûr le DL de 1/(1-x)  [somme des x^n]
tu remplaces donc x par -x² et tu intègres.

Posté par eleonore eleonore

ah ok merci beaucoup

Posté par eleonore eleonore

par exemple le DL en 0 de arccos(x) à l'ordre 7 :

on a arccos'(x)=-(1+(-x²))^-1/2

(1+x)^-1/2=1-(x/2) -(3x²/8) -(5x³/8) +o(x³)

d'où (1+(-x²))^-1/2=1 +(x²/2) + (3x⁴/8) + (5x⁶/8) +o(x⁶)

du coup arccos(x)=(/2) -x -(x³/6)- (3x⁵/40) -(5x⁷/56) +o(x⁷)

?

Posté par houm houm

Bonjour,

justement moi ce que j'ai pas encore compris c'est d'où vient le Pi/2)

Posté par Jalex Jalex

Bonjour Houm !

Une primitive est définie à une constante additive près : la dérivée
de est mais si on intègre , on trouve , en
sous-entendant que l'on peut ajouter n'importe quelle constante.
Ici, la constante vaut 3 pour retrouver notre fonction initiale.

Dans le cas du DL de arccos(x) obtenu par primitive, il faut prendre en compte la constante arccos(0) = pi/2...
Le développement limité d'une fonction commence par .

Posté par houm houm

Thanks Jalex je vois mieux, effectivement c'est visible sur la définition du DL