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developpement limité


maths supdeveloppement limité

#msg2657050#msg2657050 Posté le 28-10-09 à 09:53
Posté par Profileleonore eleonore

bonjour, voila est ce quelqu'un pourrait m'expliquer comment trouver le DL à des ordres élevés comme 6 ou 7 des fonctions arsin(x) , arccos(x), arctan(x) sans passer par la formule de taylor
j'ai essayé d'utiliser la dérivée et d'intégrer successivement mais je bloque



merci de votre aide
re : developpement limité#msg2657098#msg2657098 Posté le 28-10-09 à 10:11
Posté par ProfilPriam Priam

Dans les formulaires de développements limités usuels, le terme général d'ordre n est explicité; il permet de calculer le terme d'un ordre quelconque.
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re : developpement limité#msg2657107#msg2657107 Posté le 28-10-09 à 10:13
Posté par ProfilUlusse Ulusse

Pour Arcsin et Arcos, tu peux utiliser le fait que arcsin'(x) = (1-x)^(-1/2)

ensuite, tu connais le développement limité de
x->(1+x)^a                
pour a réel (il faut utiliser la formule de taylor, mais c'est plus facile comme ça)

et ensuite tu intègres le DL en remplaçant bien sûr a par -1/2 et x par -x.
De même pour arcos.

Pour arctan, il y a plus simple

arctan'(x) = 1/(1+x²)

tu connais bien sûr le DL de 1/(1-x)  [somme des x^n]
tu remplaces donc x par -x² et tu intègres.
re : developpement limité#msg2657178#msg2657178 Posté le 28-10-09 à 10:34
Posté par Profileleonore eleonore

ah ok merci beaucoup
re : developpement limité#msg2657228#msg2657228 Posté le 28-10-09 à 10:45
Posté par Profileleonore eleonore

par exemple le DL en 0 de arccos(x) à l'ordre 7 :

on a arccos'(x)=-(1+(-x2))-1/2

(1+x)-1/2=1-(x/2) -(3x2/8) -(5x3/8) +o(x3)

d'où (1+(-x2))-1/2=1 +(x2/2) + (3x4/8) + (5x6/8) +o(x6)

du coup arccos(x)=(/2) -x -(x3/6)- (3x5/40) -(5x7/56) +o(x7)

?
DL arcosx#msg3425363#msg3425363 Posté le 22-01-11 à 15:22
Posté par Profilhoum houm

Bonjour,

justement moi ce que j'ai pas encore compris c'est d'où vient le Pi/2)
re : developpement limité#msg3425643#msg3425643 Posté le 22-01-11 à 17:03
Posté par ProfilJalex Jalex

Bonjour Houm !

Une primitive est définie à une constante additive près : la dérivée
de x^2+3 est 2x mais si on intègre 2x, on trouve x^2, en
sous-entendant que l'on peut ajouter n'importe quelle constante.
Ici, la constante vaut 3 pour retrouver notre fonction initiale.

Dans le cas du DL de arccos(x) obtenu par primitive, il faut prendre en compte la constante arccos(0) = pi/2...
Le développement limité d'une fonction commence par f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + ....
re : developpement limité#msg3428675#msg3428675 Posté le 23-01-11 à 18:06
Posté par Profilhoum houm

Thanks Jalex je vois mieux, effectivement c'est visible sur la définition du DL

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