Bonsoir,

Oui c'est un peu ça, imagine toi un "tube" de diamètre autour de f, et bien à partir d'un certain rang toutes les fonctions sont aussi dans ce tube, (et ceci pour tout x !)

merci.mais les fonction rentrent elles dans ce tube à partir du mème rang n? cad que pour un n quelquonque les f(x) sont "à mème distance exactement" de leur limite de convergence respectives?
cat de tte facon dans le cas de la convergence simple les f(x) seront bien obliger de rentrer dans n'importe quel tube autour de f puisqu'il convergent, meme si parfois n doit etre tres grand pour certains x.

en fait c'est le "à partir d'un certain rang" qui me gène. signifie-t-il que pour tout X c'est à partir de ce rang là que la fn(x) rentre dans le tube? càd qu'elle n'y était pas avant?

Bon c'est fait à l'arrache hein



A gauche j'ai représenté une suite de fonctions qui converge simplement vers la fonction nulle (le pic se ressert de plus en plus). J'ai représenté 2 à des rangs différents (disons en bleu foncé, et en bleu clair, ). Je choisis un au pif, et je me fixe un , bon et bien tu vois qu'au rang on a que pour les , les à partir de ce rang ne sont pas tous dans le tube. Pour avoir convergence uniforme il faudrait qu'on puisse trouver un rang N tel qu'à partir de celui-ci, pour tout x on ait de tel sorte que les soient partout très proche de 0, donc qu'ils s'en rapprochent uniformément. Mais ici c'est impossible, tu vois bien que si l'on "ressert" la base, le pic est de plus en plus haut). Plus rigoureusement qui ne tend pas vers 0, donc il n'y a pas convergence uniforme.

Sur mon second dessin, j'ai représenté la fonction à atteindre (en orange), et un tube de diamètre autour de celle-ci. Et dans le cas de convergence uniforme, à partir d'un certain rang N, toutes les (c'est-à-dire en n'importe quel point) sont comprises dans ce tube. Si tu préfères les oscillations de et des sont égales à près. C'est d'ailleurs pour cette raison qu'en cas de convergence uniforme, la continuité des entraine celle de .

C'est plus clair maintenant ?

PS : Sur mon dessin il y a juste une imprécision, le pic de la courbe bleu clair doit être plus haut que l'autre bien sûr.

oui je crois que c'est bon. moi je pensais que par exemple pour un fixé fn(x1) et fn(X2) était à égal distance de f(x). cela reviendrait à des fn qui seraient des droites paralleles formant les tubes de plus en plus petits.
je n'avais pas compris la définition de la convergence simple je crois, à savoir que les fn converge que à partir d'un certain x. c'est ca?
je ne comprend pas pourquoi l'intervalle des x est [o;1] alors que sur le schéma en abscisse on a 1/2n 1/n.? et pourrait tu me mettre un f1 et un f2 sur le schéma 2? merci pour les explications en tout cas.

" au final ils seront tous dans le tube" en cvs.
"Tandis qu'en cvu on peut faire rentrer tous les f_n(x) dans le tube pour un rang suffisamment élevé." en cvu.
donc dans les 2 cas on peut les mettre dans n'importe quelle tube? et sur le schéma cvs au début fno est plus proche de f que fn1.. pourquoi dit on que ca converge?
excuse moi, je galère a me representer les choses et à faire la différence entre les deux. cf mon message precedents et les questions.. si ca converge à la meme vitesse cela signifie que pour un n  fixé fn(x1) et fn(X2) était à égal distance de f(x). cela reviendrait à des fn qui seraient des droites paralleles formant les tubes de plus en plus petits.  or sur le schéma cvu on voit sue les fn ne sont pas toujours à la meme distance de f selon les x..

Je retire mon "au final ils seront tous dans le tube", dans mon exemple avec les pics ce n'est pas le cas vu que le pic se déplace vers la gauche et devient plus grand.

je vais relire tout ca calmement pour voir ou je bloque et essayer de déméler tout ca. cette notion n'est vraiment pas intuitive pour moi. je reposterai peut etre plus tard. merci en tout cas.

Oui essaye de faire le point dans ta tête et puis reviens poster ce que tu as compris, je te dirai si c'est bon

quand on dit sup fn(x)-f(x) où l'on parle d'un n fixé cela signifie qu'on prend un n (grand ou petit?supérieur à N?) et qu'on cherche en quel  x est le sup. puis un autre n et ainsi de suite? on trouve une suite de sup en fait,une suite g(n)? et on prend le plus grand des sup (fct max)?

par exemple f(x)=x^n sur [0;1[. pour le sup on se rend compte que à tous les n le sup est quand x est proche de 1. et quelque soit n sup=1 donc il n'y a pas d'interet de faire tendre n vers l'infini?
puis je avoir un autre exemple avec les sup et le détail du raisonnement qui va avec?