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Correction DM


secondeCorrection DM

#msg2765922#msg2765922 Posté le 12-12-09 à 19:02
Posté par Profilrbk42 rbk42

Bonjour à tous, j'ai un dm à rendre pour lundi et pour le premier exercice j'aimerais votre correction et votre aide sur certaines questions qui me bloque merci

ABCD est un quadrilatère quelconque. E est le milieu de AB ; F celui de BC ; G celui de CD et H celui de DA

1) Faire un dessin
2) a) Démontrer que les droites EF et GH sont toutes 2 parallèle à AC.
J'ai fais le théorème des milieu deux fois & je trouve AC // GH // EF

   b) Démontrer que de même EH et FG sont parallèles à une même droite
J'ai aussi fait deux fois le théorème des milieux pour trouvé que HE // DB & GH // DB Donc elles sont toutes les deux parallèles à DB

   c) En déduire que EFGH est un parallélogramme
La je suis pas sur :S j'ai mis :
Puisque E est toujours milieu de AB, F milieu de BC, H milieu de CD et H milieu de DA ils ont la même distance et comme EF // HG et HE // GF, EFGH est un parallélogramme car chaque coté opposés est parallèle et de même distance

3) a) Si ABCD est un rectangle quelle est la nature de EFGH ?? Justifier

Dans le rectangle ABCD : EG coupe AB et DC en leur milieu et HF coupe AD et BC en leur milieu
Dans un rectangle, si deux droites passent chacune par les milieux de deux cotés opposé alors ces deux droites sont perpendiculaire entres elles. Si un quadrilatère a ses cotés consécutifs de même longueur et que ces diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu, alors ce quadrilatère est un losange.

  b) Si ABCD est un losange quelle est la nature de EGGH ? Justifier

C'est un rectangle mais je ne sais pas comment le justifier :S

4) Comment doit on placer ABC et D POUR QUE EFGH soit un losange? Justifier

Il faut que se soit un rectangle et j'ai justifié avec un dessin mais je crois que je peux le prouvé par une propriété aussi :S

   Comment doit on placer ABC et D pour que EFGH soit un rectangle? Justifier

Il faut un losange et j'ai aussi justifié par un dessin mais je crois qu'il il a la aussi une propriété si vous la savez sa serait pas de refus xD


Voila merci
re : Correction DM#msg2766685#msg2766685 Posté le 13-12-09 à 09:45
Posté par ProfilTilk_11 Tilk_11 Correcteur

Bonjour,
2a) et b) c'est bon
2c) ton raisonnement n'est pas correct..utilise simplemnt le théorème :
"Si un quadrilatère a les côtés opposés parallèles,
alors c'est un parallélogramme"

3)a) Le théorème des milieux dans un triangle te permet de conclure que :
dans le triangle ABC (EF)//(AC) et EF = AC/2
de la même manière tu as GH = AC/2
HF = FG = BD/2

[AC] et [BD] sont les diagonales du quadrilatère ABCD.
Si ABCD est un rectangle, alors ses diagonales ont la même longueur c'est à dire AC = BD,
il en résulte donc que EF = GH = HF = FG
et par suite
EFGH, qui a ses quatre côtés de même longueur, est un losange.

3b) Si ABCD est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires donc (AC) et (BD) sont perpendiculaires et comme (AC)//(EF)//(GH) et (BD)//FG)//(EH) il en résulte donc que (FG)┴(EF), or
"Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs perpendiculaires est un rectangle"
par suite EFGH est un rectangle.

4) Si EFGH est un losange, alors ses côtés ont la même longueur
et comme
HF = FG = BD/2 et EF = GH = AC/2 tu peux en déduire que AC = BD

le parallélogramme ABCD ayant ses diagonales de même longueur est donc un rectangle.

Donc, pour que EFGH soit un losange il faut que le triangle ABCD soit un rectangle.

Si EFGH est un rectangle alors (EF)┴(FG) et comme (AC)//(EF)//(GH) et (BD)//FG)//(EH) il en résulte que (AC)┴(BD).

Pour que EFGH soit un rectangle, il faut que les diagonales du quadrilatère ABCD soit perpendiculaires : attention, ce n'est pas obligatoirement un losange...voir figure jointe

Correction DM
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