Géométrie

Posté par Marinouu Marinouu

Bonjour j'ai un petit souci, dès ma rentrée en terminale S notre prof nous à  donné un DM. Le problème c'est que j'ai perdu toutes mes notions en maths pendant les vacances et j'ai beau relire et chercher dans mon cahier de l'année dernière je bloque sur cet exercice.

Qui est : Dans un repère orthonormal (O;i;j), P est le pt de coordonnées (2;1). Une droite variable qui passe par P coupe (Ox) en A et (Oy) en B, l'ordonnée de B étant supérieure à 1. Déterminer la droite (AB) qui rend l'aire du triangle OAB minimale. ( Pour cette question je n'est jamais fait ce genre d'ex donc je ne sais pas comment m'y prendre)


J'ai posé A(x,0) et B(0,y)
on m'as dit qu'il fallait exprimer y en fonction de x
mais je ne sait pas comment m'y prendre en utilisant quelles données ...

Merci de bien vouloir m'aider

Posté par mdr_non mdr_non

bonsoir

P (2 ; 1)

A (xa ; 0)

B (0 ; yb)

avec yb > 1

voici un schéma pour commencer:


- Aire du triangle OAB, connais tu la formule pour calculer l'aire d'un triangle ? (ici un triangle particulier..)
- il faut que (AB) passe par P(2 ; 1)
trouve l'équation de la droite (AB) ..

Posté par Marinouu Marinouu

oui oui ici A = (BO*OB) /2
Pour le dessin je l'avait déjà fait sur une feuille mais c'est mieux réalisé ici ^^ ensuite pour que AB passe par P je ne sais pas qu'elle formule je dois utiliser ?

Posté par Marinouu Marinouu

Je rectifie :
oui oui ici A = (BO*OA) /2
Pour le dessin je l'avait déjà fait sur une feuille mais c'est mieux réalisé ici ^^ ensuite pour que AB passe par P je ne sais pas qu'elle formule je dois utiliser ?

Posté par mdr_non mdr_non

bien!

BO*OA / 2

que vaut BO
OA ??


cour: le vecteur u(a ; b) a pour équation de droite, bx - ay + c = 0

Posté par Marinouu Marinouu

je me rapelle plus la formule pour calculer une logneur de vecteur mais je sais qu'il y a pour B (o ; yb) et pour O (o ;o)

Posté par mdr_non mdr_non

ici, c'est simple

entre O(0 ; 0)  et B(0 ; yb)

la distance est tout simplement yb!!

si tu veux la formule (faudrait que tu penses à revoir tes cours de géométrie..)

A (xa ; ya)   et   B (xb : yb)

AB = ( (xb - xa)² + (yb - ya)² )



SI on fait avec nos deux points   O(0 ; 0)  et B(0 ; yb)

OB = ( (0 - 0)² + (yb - 0)²) = (yb²) = yb
..

Posté par Marinouu Marinouu

merci du rappel donc OB=yb et OA=xa
pour trouver BA il fait que je me serve de la formule BA²=yb²+xa²
BA=√(yb+xa) ?

Posté par Marinouu Marinouu

J'ai trouvé quelques pistes ..
je suis arrivée a
AP(2-xa; 1) et AB( -xa;yb)
je regarde si ils sont colinéaires pour que P appartienne a AB je trouve -xa-2yb+xyab=O je fait du caca ou je suis sur une piste ?

Posté par mdr_non mdr_non

re!

je ne sais pas si tu l'as deviné, mais je te le dis.

mes deux démarches du haut, ont pour but d'exprimer, xa en fonction de yb. (tu sais pour l'étude d'une fonction, >> qui admet un minimum .....)

1) Aire du triangle OAB.

- Les points:
O (0 ; 0)   ;    A (xa ; 0)   ;  et   B(0 ; yb)
avec yb > 1 (d'ailleurs tu verras dans la suite, pourquoi cette condition EST NECESSAIRE)

- OAB est un triangle rectangle, car dans le repère orthonormal (O ; ; )
B et A appartiennent respectivement à l'axe des ordonnées, et à l'axe des abscisses.

- Donc A_OAB = (xayb)/2

On va donc dire que Aire de OAB, varie en fonction de yb; on note:
A(yb) = (ybxa)/2

Arrivé à là, (avant de passer, au 2) ). Il faut avoir l'idée (sinon on avance plus) d'exprimer xa en fonction de yb
pour se retrouver ensuite: avec que des yb, dans A(yb)..
Par quel moyen? (ils sont surement multiples)
Mais on va faire simple, en étudiant, l'expression de la droite (AB)

2) La droite (AB)

Alors, on remarque que (AB) est une droite affine.
L'expression d'une droite affine est de la forme  y = ax + b

a: le coefficient directeur, te souviens tu de la formule pour calculer (a) ?

Posté par Marinouu Marinouu

D'accord on laisse tomber ma methode et j'essaie de comprendre avec la tienne.
Alors tout d'abord je ne comprends pas pk
" On va donc dire que Aire de OAB, varie en fonction de yb; on note:
A(yb) = (ybxa)/2 " l'aire varie en fonction de yb mais aussi de xa ? On en choisi un alors ?
Ensuite pour
" L'expression d'une droite affine est de la forme  y = ax + b

a: le coefficient directeur, te souviens tu de la formule pour calculer (a) ?"

Je voi juste a=(y-b)/2

Posté par Marinouu Marinouu

Pour exprimer xa en fonction de yb je trouve (2A(yb))yb=xa
ca me semble bizarre ..

Posté par Marinouu Marinouu

Avec une autre méthode je suis arrivée a y=x/(x-2) si tu pense pouvoir m'aider à partir de ca ?

Posté par mdr_non mdr_non

re!

Pourquoi on prend l'air en fonction de yb?

c'est l'énoncé qui nous pousse à le faire, car il nous impose, yb > 1.
(c'est aussi mon choix, personnel, si tu veux on fera en fonction de xa, quand celui là sera fini)

L'expression d'une droite affine :  y = ax + b

a: le coefficient directeur , On le calcule à partir de deux points d'une droite

Rappel:



On bosse avec les points:

A(xa ; 0)
B(0 ; yb)

à toi de jouer ..

Posté par mdr_non mdr_non

équation de la droite (AB)

A(xa ; 0)
B(0 ; yb)

a = -(yb)/(xa)

l'équation de (AB) est donc de la forme


b est l'ordonnée à l'origine, donc b = yb

preuve

La droite doit passer par B(0 ; yb)
si on remplace x par 0 dans notre équation de droite, on doit avoir yb donc on résout

          yb = b

notre équation de droite est devenue:



Elle doit passer par le point P(2 ; 1)



Maintenant qu'on a notre équation de droite, on va exprimer xa en fonction de yb.

     xa = -2.yb + yb.xa     xa - yb.xa = -2ub[/tex]  
   xa(1 - yb) = -2yb      xa = -2yb/(1 - yb)



Maintenant on en revient à l'expression de l'aire, à savoir

A(yb) = (yb.xa)/2

On remplace xa par sa valeur



Voilà pourquoi yb > 1
parce que si yb = 1, on obtiendrai un dénominateur nul dans notre expression de A(yb) ...

Maintenant , on veut étudier la valeur de l'aire minimale
traduction: la valeur pour laquelle, A(yb) présente un minimum..

à toi..

Posté par mdr_non mdr_non

il y a quelque signe, qui ne nuisent pas à la compréhension qui traine lol..

si tu comprends pas, surtout dis le, car c'est important de comprendre ce qu'on fait..!!!

Posté par Marinouu Marinouu

Je comprend a peu près ta démarche sauf qu'elle m'as l'air bien compliquée et je pense que je suis arrivée au même point que toi autrement .
Pour que A,P,B soit alignés y = x/(x-2)
d'ou l'aire OAB = (1/2)*OA*OB=(1/2)*x²/|x-2|=(1/2)*x²/(x-2) car x>2

Il faut donc faire une étude de fonction sur ]2 ; +[ avec pour minimum x=4 ?

Posté par mdr_non mdr_non

oui pareil...

toi tu trouves x = 4
donc y = 2

moi je trouve y = 2
x = 4

Posté par Marinouu Marinouu

j'ai calculé la dérivée et j'en arrive ) f'(x)=(x(x-4))/(x-2)² ( étant donné que 1/2 est une constante ca ne change rien au sens de variation de la fonction )
Je ne sais plus trop cmt s'y prendre pour le tableau
en haut j'ai juste -oo  2     4    +oo
et sur le coté (x-4) et (x-2)²  ?
Je ne me rapelle plus trop cmt on fait ..

Posté par mdr_non mdr_non

^^.. tu y es presque (bon je dois partir je te met la 'réponse')

f(x) = 0.5x²/(x - 2)

(tu as exprimé en fonction de (x), donc tu es obligé de dire x > 2)
tandis que si tu avais fais le travail en fonction de y, on aurait la condition y > 1
(que l'énoncé lui même imposait !!)

mais bon..

f'(x) = [(x - 2)x - 0.5x²]/(x - 2)² = (0.5x² - 2x)/(x - 2)² = x(0.5x - 2)/(x - 2)²

Le dénominateur, est un carré (toujours positif)

le numérateur
x(0.5x - 2) = 0
S = {0 ; 4}

Posté par Marinouu Marinouu

merci beaucoup j'ai pratiquement terminé sauf que je ne comprend pas en exactement pourquoi on trouve les solutions 0 et 4 comment je dois le justifier ? la question étant "Déterminer la droite (AB) qui rend l'aire du triangle OAB minimale."

Posté par mdr_non mdr_non

Pourquoi on trouve les solutions 0 et 4 ?

tu veux parler de f'(4) ?

alors: pour déterminer le signe de la dérivé on cherche son signe, (on cherche aussi les valeurs qui annulent la dérivé..)
jamais fait en classe ?.....

COur: SI la dérivé s'annule en changeant de signe
(c'est le cas pour x = 4; avant la dérivé est négative ; après elle devient positive)
ALORS la fonction admet un extremum en ce point.

Grâce à ça, on conclut que f(4) est un extremum de f.. (plus précisément un minimum)

on calcul f(4) = (0.5)(4)²/(4 - 2) = 8/2 = 4

Quand x vaut 4 (quand x a pour coordonnée 4 = quand le point A, a pour abscisse 4, l'aire vaut 4)

pour trouver y, on se sert de la forme
A(x) = x.y/2

donc 4 = 4.y/2    y = 2

voilà, tu as les coordonnées des deux points qui rend l'aire OAB minimale..
A(4 ; 0)
B(0 ; 2)

à partir de ça tu peux bien calculer l'équation de la droite (qui est affine ..) non ?
si jamais tu ne comprends pas, on peut reprendre depuis le début..