Bonjour à tous,
Après avoir péniblement inculqué les notions d'addition et de multiplication à Jacquouille la fripouille (voir ici Joute n°8 : Jacquadomia), le frère Carl Friedrich, un éminent moine mathématicien allemand, essaye de lui apprendre à manier les nombres décimaux.
Il lui donne donc 3 nombres comportant chacun un ou deux chiffres après la virgule et lui demande d'en faire le produit.
Précision : les chiffres après la virgule ne sont pas égaux à zéro tous les deux.
Mais Jacquouille trouve cela trop difficile et il se contente de les additionner avant d'annoncer le résultat (sans montrer comment il a fait) : 6,42.
On suppose évidemment que l'addition est juste.
A sa grande surprise, le frère Carl Friedrich le félicite pour avoir trouvé si rapidement le résultat.
Question : quels sont les 3 nombres utilisés ?
Bonjour,
Les trois nombres sont :
1,07
1,60
3,75
La solution est unique.
Merci pour cette pause café ...
Bonjour Godefroy,
Heureusement que 107 est un facteur premier de 642.
Les trois nombres sont 1,6 ; 3,75 et 1,07 .
Merci pour la joute.
Bonjour
Je propose 1.07, 1.6, 3.75
explications : 1 fois n'est pas coutume
x+y+z=6.42
x*y*z=6.42 = 2*3*1.07
et en prenant x=1.07 : y+z = 5.35 et y*z=6.42/1.07 = 6 => y=1.6 et z=3.75
Merci
A+
Bonjour/Bonsoir,
Je pense qu'il n'y a qu'une seule solution (aux permutations près) :
1,07 1,60 3,75
mais je n'ai réfléchi qu'avec des nombres positifs.
Merci pour vos énigmes.
J'ai manqué de temps pour poster la démonstration à midi...
La voici...
Trouver a, b, c, tels que :
a+b+c = 6,42
a.b.c = 6,42
On passe en nombres entiers en notant :
A = 100a, B = 100b, C = 100c
Du coup :
A+B+C = 6420
A.B.C = 64200000
On exploite l'indice "Karl Friedrich" (Gauss)... en décomposant en facteurs premiers.
On voit que :
A+B+C = 107*60
A.B.C = 107*600000
Le produit A.B.C comprend donc au moins un terme multiple de 107 (merci Karl Friedrich).
Posons qu'il s'agit de A.
Dans ce cas, A peut prendre cinq valeurs exactement et pas plus :
1*107, 2*107, 3*107, 4*107, 5*107.
Mais alors, connaissant A, le problème se reformule ainsi :
Trouver B et C, tels que :
S = B+C = 6420 - k*107
P = B.C = 64200000/(k*107) = 600000/k, (avec k=1,2,3,4,5)
B et C sont alors solution de X²-SX+P (souvenir de seconde).
En remplaçant par les 5 valeurs de k possibles, une seule convient (k=1).
Et donc : A=107, B=160, C=375.
Les valeurs de a, b, c en découlent.
Problème très sympa ...
Dommage qu'il soit également trouvable par tableur ou programmation :
je conjecture que pas mal de réponses passeront à coté de la solution "purement mathématique".
Re-Bonsour/Bonjoir,
Comme d'habitude, je donne mon raisonnement... s'il peut aider certains
Changeons l'unité au 1/100, la question devient alors :
Trouver 3 entiers a, b et c tels que :
a + b + c = 642
a * b * c = 6420000
Rappel :
Connaissant la somme S et le produit P de deux nombres, on sait que 4P <= S^2
En posant a, on sait que :
b + c = 642 - a
b * c = 6420000 / a
mais aussi que 4 * (b * c) <= (b + c)^2
=> 4 * 6420000 / a <= (642 - a)^2
=> 4 * 6420000 <= a * (642^2 - 2*642*a + a^2)
=> a^3 - 1284*a^2 + 412164*a - 25680000 >= 0
qui n'est vérifié que pour 82 <= a <= 383
Or 6420000 = 2^5*3*5^4*107. Ce qui limite bien le choix des diviseurs possibles.
Un des 3 nombres doit être un multiple de 107.
Supposons que a = 107*k. Alors, 82 <= 107*k <= 383 => 1 <= k <= 3.
Si k = 3, a = 107*k = 321, b+c = 642-a = 321 et b*c = 6420000/a = 20000 = 2^5*5^4
Mais ce n'est pas possible car, avec les facteurs disponibles pour b*c, b et c ne peuvent se terminer que par 0 ou 5, et alors b+c ne peut pas se terminer par 1.
Si k = 2, a = 107*k = 214, b+c = 642-a = 428 et b*c = 6420000/a = 30000 = 2^4*3*5^4
Toujours en n'étudiant que les derniers chiffres (modulo 10), on voit que l'une des valeurs b ou c doit se terminer par 0 et l'autre par 8. Ce qui n'est possible qu'avec le couple de valeurs (2^3 ; 2*3*5^4) = (8 ; 3750) mais qui ne respecte pas la contrainte complète de l'addition b+c = 428.
Finalement, si k = 1, a = 107*k = 107, b+c = 642-a = 535 et b*c = 6420000/a = 60000 = 2^5*3*5^4
Cette fois, l'étude des derniers chiffres montre que l'une des valeurs b ou c doit se terminer par 0 et l'autre par 5. Avec les facteurs disponibles, ceci laisse les couples de valeurs :
(2^5*3*5^3 ; 5) = (12000 ; 5)
(2^5*3*5^2 ; 5^2) = (2400 ; 25)
(2^5*3*5 ; 5^3) = (480 ; 125)
(2^5*5^3 ; 3*5) = (4000 ; 15)
(2^5*5^2 ; 3*5^2) = (800 ; 75)
(2^5*5 ; 3*5^3) = (160 ; 375)
dont on voit facilement que seule la dernière respecte la contrainte complète de l'addition b+c = 535.
En conclusion, cette énigme n'a qu'une possibilité avec des nombres positifs :
a = 107, b = 160 et c = 375
qui, ramenée à l'unité du problème, donne l'unique solution :
1,07 1,60 3,75
Bonjour godefroy_lehardi
Après avoir fait tourner mes méninges (j'ai d'abord pensé qu'il y avait un piège et que deux d'entre eux étaient négatifs !) et algobox, je te propose dans l'ordre croissant pour ces trois nombres :
1,07 puis 1,6 et enfin 3,75
Tout d'abord je ramène le problème à une situation où les nombres sont entiers, en multipliant chaque nombre par 100.
Je cherche donc x, y et z entiers vérifiant x+y+z = 642 et x*y*z = 6 420 000
Plusieurs remarques :
1/ l'un des nombres au moins est paire et les deux autres sont de même parité.
2/ x, y et z sont des nombres à trois chiffres donc plus grands que 100 (vu leur produit), non multiples de 100 (d'après l'énoncé), et inférieur à 442. (vu que la somme doit faire 642)
3/ x, y et z sont diviseurs de 6 420 000.
4/ la moyenne arithmétique (x+y+z)/3 = 214 donc l'un des trois nombres au moins est plus grand que 214.
Cela réduit de beaucoup la recherche, parmi les diviseurs de 6 420 000, il ne reste plus déjà que :
107 ; 120 ; 125 ; 150 ; 160 ; 214 ; 240 ; 241 ; 250 ; 321 ; 375 ; 428
Par élimination, en partant du plus grand jusqu'à 214 (pour que la recherche soit plus efficace par soustraction à 642), on trouve rapidement le triplet (375;160;107), dont le produit est celui recherché.
Deux autres triplets (321;214;107) ou (241;241;160) fonctionnent pour l'addition, mais seul celui là permet de trouver le produit cherché.
Il est heureux que le problème posé ait une solution.
On replace le problème dans son contexte et on vérifie.
3,75 + 1,6 + 1,07 = 6,42
3,75 * 1,6 * 1,07 = 6,42
Bonjour Godefroy
Les trois nombres dont la somme et le produit valent 6,42 sont :
3,75
1,60
1,07
Merci pour la joute !
La seule solution que je trouve est la suivante:
1.07 + 1.6 + 3.75 = 6.42
1.07 * 1.6 * 3.75 = 6.42
mais comme le zéro ne doit pas figurer après la virgule, donc!!
Raisonnement:
- Nous avons 3 inconnues a,b,et c
- Nous allons supposer "c" et résoudre un système d'équations à 2 inconnues
a+b=6.42-c (équation 1)et donc a=6.42-b-c
a*b=6.42/c (équation 2)
- On remplace "c" par les différentes valeurs supposées et on remplace "a" par sa
valeur de l'équation '1' dans l'équation '2' on obtient une équation du second degré à deux inconnues.
Il y a plusieurs résultats possibles sauf si il faut que le résultat de la multiplication soit pile 6.42 mais la j'ai pas trouvé
donc je donne deux résultats et on verra bien
0,82*2,72*2,88 = 6,423552
0,82+2,72+2,88 = 6,42
0,9*2,07*3,45 = 6,42735 6,42
Bonjour vu que je n'ai pas su le dire dans le texte d'avant
désolé mon texte c'est posté par erreur
merci tout de même je vais continuer de chercher une réponse plus exacte même si je ne la posterai pas
les trois nombres sont:
2,14
2,14
et 2,14
Car ils ont 2 chiffres après la virgule qui ne sont pas égaux à zéro tous les deux.
Pour les trouver, on fait 6,42 divisé par 3(car il y a 3 nombres).On trouve 2,14.Donc 2,14*3=6,42.
Mais comme Jacqouille a fait une addition à la place, pour vérifier on fait 2,14+2,14+2,14=6,42.
Donc les 3 nombres sont 2,14;2,14 et 2,14.
Merci pour l'énigme
mimsk
Clôture de l'énigme :
Pas de grande difficulté sur cette dernière joute du mois.
Et, après deux mois un peu difficiles (l'hiver a été rude ), totti1000 renoue avec la victoire. Félicitations !
Bravo également à Rodival qui monte une fois de plus sur le podium (ça s'est joué à peu de choses ce mois-ci), ainsi qu'à tous ceux qui ont réalisé un sans-faute.
Et n'oubliez pas le week-end spécial qui commence demain matin ! Bientôt la 1000ème énigme !
Merci pour tes encouragements godefroy_lehardi,
Depuis ma première prestation en novembre 2010, j'ai effectivement l'impression de me placer en éternel Poulidor de totti1000...
Il est si rapide !!! Je ne sais pas comment il fait : quand j'ai le temps de prendre le temps pour venir découvrir une énigme... il a déjà répondu !
De toute façon, merci à tous...
Félicitations au vainqueur du mois .
Les énigmes d'avril avaient une belle densité et une intéressante variété.
Il fallait être complet, solide et rapide pour l'emporter... bref, il fallait un totti1000.
Coup de chapeau à Rodival aussi, qui ne cesse de se rapprocher du meilleur niveau.
Tous les espoirs lui sont permis...
Bravo !
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