Salut letonio,

Comment trouves-tu ton "2" comme reste possible???

biondo

salut letonio :

a)

00[8]
11[8]
44[8]
91[8]

160[8]
251[8]
364[8]
491[8]
...

les restes sont donc 0 , 1 et 4

romain

Ok je vois...
Quelle est la manière de rédiger le a), en faisant une vraie démonstration?
J'essaie de rédiger proprement le b).

n^28 (8)
ou n^29 (8)
ou n^212 (8)

* a^2+b^2+c^229(8)
* a^2+b^2+c^224(8)
* a^2+b^2+c^227(8)
* a^2+b^2+c^236(8)
* a^2+b^2+c^225(8)
* a^2+b^2+c^2
... Faut-il énumérer tous les cas? Je suppose que non. comment est ce que je peux rédiger ça?

merci lyonnais pour le a)

Par contre pourquoi est ce qu'il suffit d'aller jusqu'à 7^2 pour avoir prouvé qu'il n'y a que 0, 1, et 4 comme restes possibles. Je vois bien qu'il semble y avoir une "liste" qui revient, mais comment on est sûr qu'elle se reproduit indéfiniment?

b)

tout nombre de la forme 8k+7 est, par définition congru à 7 modulo 8 .

somme de trois carrés ( additionons les restes ) :

0+0+0 = 0
0+1+1 = 2
0+4+4 = 8 -> 0
0+4+1 = 5

1+1+1 = 3
1+0+0 = 1
1+4+4 = 9 -> 1
1+4+0 = 5

4+4+4 = 12 -> 4
4+1+1 = 6
4+0+0 = 4
4+1+0 = 5

donc la somme de trois carrés n'est jamais congru à 7 modulo 8

=> tout entier de la forme 8k+7 n'est pas la somme de trois carrés.

sauf erreur ...

romain

>letonio:
Pourquoi va-t-on seulement jusqu'a 7?
C'est toute la puissance du calcul avec congruence.

Si d est congru a r mod(8) (la flemme sur latex, desole),
alors d^2 est congru a r^2 mod(8).

Et donc, je peux me limiter a l'exploration des restes possibles de la division euclidienne par 8, soit les cas 0 a 7.

Ca va?

biondo

>> letonio :

vas voir ici :



le démo est donnée ...

Ah google

romain

Bonjour

1)- On a :

a=0[8] , donc a²=0[8]

a=1[8] , donc a²=1[8]

a=2[8] , donc a²=4[8]

a=3[8] , donc a²=9[8] , donc a²=1[8]

a=4[8] , donc a²=16[8] , donc a²=0[8]

a=5[8] , donc a²=25[8] , donc a²=1[8]

a=6[8] , donc a²=36[8] , donc a²=4[8]

a=7[8] , donc a²=49[8] , donc a²=1[8]

On s'arrête ici , car on travaille avec modulo 8 , donc de 0 à 7 (ceux sont les restes possibles).

Donc on obtient a²={0;1;4}[8] (tu n'écris pas sur ta feuille avec les crochets, moi j'ai fait, parce que c'est plus court à écrire).

2)- On veut démontrer que 8k+7 ne peut pas être d'une forme a^3+b^3+c^3.

Or a^3={0,1,4}[8] et 8k+7=7[8], et en utilisant 0;1 et 4 , tu démontres qu'on peut pas avoir 7 (tu n'as qu'à étudier les cas si tu veux : 0+0+0;0+0+1;4+4+4;etc...).

Voilà.

Belle démonstration.

Faut-il énumérer tous les cas? Je suppose que non. comment est ce que je peux rédiger ça?
Eh bien non, vu qu'on additonne 3 restes de différentes façon en utilisant 0;1 et 4.
Donc on a une forme : x*0+y*1+z*4=4z+y , avec x,y,z entiers naturels entre 0 et 2 (0 et 2 compris, car si c'est 3 , alors on a que 4+4+4=12=4[8] , 1+1+1=1[8] et 0+0+0=0[8])
Voyons si on va trouver 7 avec 4z+y.
7=4z+y , donne z=2-(1+y)/4 , y=0 => (1+y)/4 non entier.
y=1 , non plus
y=2 non plus
voilà c'est fini, à toi de rédiger ma méthode (que je trouve plus court, non ?).

j'avais oublié d'utiliser cette méthode qui est plus facile, pour la quesion 1) je veux dire:
Démonstration

Cas où n est impair => n = 2k + 1

(2k + 1)² = 4k² + 4k + 1

= 4 k (k + 1) + 1



k et k + 1 sont deux nombres consécutifs

L'un deux est pair



Leur produit k (k + 1) est divisible par 2

et 4 k (k + 1) est divisible par 8



Donc pour 4 k (k + 1) + 1,

il reste 1 dans la division par 4





Cas où n est pair => n = 2k

(2k)² = 4 k²

Divisible par 4

Donc par 8 avec reste 0 ou 4



Cas où n est divisible par 4 => n = 4k

(4k)² = 16 k²

Divisible par 16

à fortiori par 8

Juste pour m'assurer que j'ai bien tout suivi.

a)quel peut-être le reste de la division euclidienne du carré d'un entier par 4?

a^2= 4k+r

00(4)
11(4)   1^21(4)
22(4)    2^24(4)  2^20(4)
33(4)   3^29(4)   3^21(4)

Les restes possibles sont donc {0;1}

b)Soit N un entier impair, égal à la somme de deux carrés. Quel est le reste de sa division euclidienne par 4?

N est impair donc il est la somme d'un carré pair et d'un carré impair.
si a=2k, a^2= 4k^2     4|a^2 et le reste est 0
si a= 1+2k, a^2=(1+2k)^2=1 +4k+ 4k^2=4(k+k^2) +1   et le reste est 1

donc le reste de N par la division euclidienne par 4 est 0+1=1

>letonio...

Impeccable!
Mais tu aurais pu utiliser les resultats du a)...

biondo

>letonio

Encore un petit truc (juste pour le plaisir):
tu as poste pas mal d'exos dans les jours qui precedent, concernant des demonstrations de divisibilite de certains nombres (genre 3^(2n) - 2^n divisible par 7), qu'on te demandait de faire par recurrence.

Tu peux essayer de les refaire en utilisant les regles de calcul avec congruence... tu vas voir, ca va un petit peu plus vite

A+
biondo

Un autre exercice du même genre mais je suis moins à l'aise.

a) Etudier selon les valeurs de l'entier naturel n, les restes de la division par 7 des nombres et .

2^n=7q+r
22(7)
2^24(7)  
2^38(7)   2^31(7)

donc si n= 1+3k    alors 2^n a pour reste 2
     si n= 2+3k    alors 2^n a pour reste 4
     si n= 3+3k    alors 2^n a pour reste 1

3^n=7q+r
33(7)
3^29(7)   3^22(7)
3^327(7)    3^36(7)
3^418    3^44(7)
3^512(7)  3^55(7)
3^615(7)   3^61(7)

donc si n= 1+6k   alors 3^n a pour reste 3
     si n= 2+6k   alors 3^n a pour reste 2
     si n= 3+6k   alors 3^n a pour reste 6
     si n= 4+6k   alors 3^n a pour reste 4
     si n= 5+6k   alors 3^n a pour reste 5
     si n= 6+6k   alors 3^n a pour reste 1

b)Résoudre alors l'équation 0(7) ,où x est un naturel.

On cherche à ce que le reste soit égal à 0 ou 7k
J'ai fait un tableau

          1   2  3  4  5  6
        1 2   3  4  5  6  7
        2 3   4  5  6  7  8
        4 5   6  7  8  9  10


* 3+3k= 3+6k     k= 0
d'où x= 3

* 1+3k= 5+6k     k= -4/3
d'où x=-3
Impossible car x est un naturel

* 2+3k= 1+6k    k= 1/3
d'où x= 3

La solution de cette équation est donc x=3

Est ce que c'est correct? J'avais fait une erreur que j'ai corrigée en vous exposant le problème. Maintenant il me semble que c'est ça. En tout cas ça marche avec x=3...

Re,

Le a) est bon. Ce serait un peu plus simple (et plus courant aussi) si tu ecrivais les cas n=3k, 3k+1 et 3k+2... (au lieu de 3k+1, 3k+2 et 3k+3). 3k+3 c'est bizarre... si on parle de reste de la division par 3, ca vaut 0,1 ou 2... Mais c'est du detail.

Pour le b)
Je te fais un des cas:
x doit etre de la forme 3k et x doit aussi etre de la forme 6k'+3 (attention!!! ce n'est pas le meme "k"!!).
Et ca marche des que k = 2k'+1... Donc tous les 6k'+3 conviennent.

Tu fais les autres???

biondo

Yalcin 11:51 :

ce ne serait pas exactement la démo qui se situe dans le lien que j'ai doné à letonio   ?

je le remet ici :

oui, je l'ai pri spar là (ton lien).
j'avais dit : j'ai oublié d'oublier cette méthode.
On trouve que :
2^(3k)=1[7]
2^(3k+1)=2[7]
2^(3k+2)=4[7]
donc on a :
2^(6k)=1[7]
2^(6k+1)=2[7]
2^(6k+2)=4[7]
2^(6k+3)=1[7]
2^(6k+4)=2[7]
2^(6k+5)=4[7]
et
3^(6k)=1[7]
3^(6k+1)=3[7]
3^(6k+2)=2[7]
3^(6k+3)=6[7]
3^(6k+4)=4[7]
3^(6k+5)=5[7]

Donc pour x=6k+3 ça amrche.

Je trouve:
1+3k= 2+6k'
k= 1/3 + 2k'
c'est impossible car k est un entier

et même chose pour le dernier cas.

Mais quand même il y a une chose qui me chiffone.
Si je prends k=1    x=9
J'ai  2^9+3^9= 23 267 qui n'est pas divisible par 7



:?

Hem...
Tu dois etre un peu fatigue...

Combien ca fait, 2^9 + 3^9 ???

biondo

C'est la faute de ma calculatrice. Elle fait rien qu'à faire ce que je lui dis de faire

Merci de votre aide
J'attaque un nouveau genre d'exercice= nouvelle prise de tête snif

C'est pas tres grave. Ca m'arrive souvent aussi.

Un petit plus pour l'analyse des cas:
Quels sont les k, k' verifiant:
1+3k = 2 + 6k'  ??

en passant modulo 3 (le prof est content, on fait plein de congruence!!!):
1 devrait etre congru a 2 modulo 3. Ce n'est pas possible.

EN tout cas continue comme ca, moi j'ai l'impression que ca vient...

biondo

Ca a un côté un peu casse pied au début ces congruences, mais finalement j'ai l'impression qu'il y a plein de choses à en faire. Amusant...