Je me propose de construire un aquarium en verre collé.
Cet aquarium sera parallélépipédique à base carrée, sans couvercle et aura une capacité de 32 litres (rempli à ras bord).
Quelles dimensions intérieures dois-je donner à l'aquarium pour utiliser le moins de verre possible ?
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Bonne chance à tous.
Salut
c=40cm et h=2cm...la question qui reste c'est "est ce vraiment un aquarium ou un bain de pieds?"
La base aura 40 cm de côté, et la hauteur sera de 20 cm.
Je ne vous donne pas la démonstration, puisqu'elle n'est pas demandée, mais la ruse, c'est qu'il n'y a pas de couvercle
Et en faisant les calculs en dm, ça simplifie drôlement.
Bonjour,
soit c le côté du carré, h la hauteur de l'aquarium.
La surface de verre est de c^2 + 4ch
De plus, c^2 h = 32L.
Il faut donc minimiser c^2 + 4*32/c, fonction de c dont la dérivée est 2c - 2*64/c^2;
elle s'annule pour c=64/c^2; ie pour c = 4 (et ce sont des dm car 32 est en L)
Donc il faut faire un aquarium de 40cm de côté (et du coup 20cm de haut)
a = côté du carré (en dm)
h = hauteur de l'aquarium (en dm)
V = volume de l'aquarium (en dm3) = 32
S = surface vitrée de l'aquarium (en dm²)
V = a².h soit h = V / a²
S = a² + 4.a.h soit S = a² + 4.V/a
S(a) mini quand sa dérivée est nulle : S'(a) = 2.a - 4.V/a²
et S'(a)=0 ssi a3 = 64 soit a = 4 dm et h = 2 dm
Côté de la base carrée de l'aquarium : 40 cm
Hauteur de l'aquarium : 20 cm
bonjour
soit l la largeur (et donc longueur ) du pave
soit h la hanteur du pave
on a le volume de ce pave qui vaut l²h=32
l aire latterale de ce pave sans couvercle est
f(l)=4*h*l+l²
en remplacant par h par 32/l² on trouve que
f(l)=128/l+l²
en calculant la derivee on trouve que le minimum est atteint pour l=4
les dimensions doivent etre: l=4 dm et h=2 dm
merci pour l'egnime
les dimensiosn intérieurs seraient de l'ordre de 4 fois 4 fois 2
on note x la longueur des côtés de la base carrée et y, la hauteur du parallépipède.
A=x²+4xy
A'=0 pour x= 4 ou x= -4
l'aire est donc minimale x= 4 (une valeur négative étant impossible).
L'aquarium doit avoir pour dimension : 40cm de cote pour la base et 20cm pour la hauteur.
On note a le cote de la base et h la hauteur. Le volume de l'aquarium est de 32L, soit 32dm3. Les longeurs sont donc exprimees en dm.
On a
La surface en verre à minimiser est :
On calcule la dérivée de cette fonction pour obtenir la valeur de a qui correspond à un minimum de S:
Cette fonction s'annule pour a=4 et correspond à un minimum de S.
On a donc a=4dm et par consequence h=2dm.
La base doit être un carré de 4 dm de côté, et la hauteur doit être 2 dm.
En complétant cet aquarium par un symétrique au dessus de la face libre, on voit que cela revient à trouver un parallélépipède de volume donné de surface minimum (ici 64 litres). On sait que c'est alors un cube (par symétrie, ou le calcul...) de 40 cm de coté.
L'aquarium cherché aura donc un fond de 40cm par 40cm et une hauteur de 20 cm.
On n'a pas besoin de supposer la base carrée a priori.
Salut,
la base est carre de cote 40cm et le paralepipede a une hauteur de 20 cm
@+
Bonjour
Alors ... je trouve les dimensions suivantes :
le coté de la base carré doit etre de 40cm
la hauteur de l'aquarium doit etre de 20cm (en longueurs intérieures)
Merci pour l'énigme
Non !!!!!!!!!!!!
Je viens de voir que j'ai fait une grosse boulette !!!!!!
La vraie réponse est : coté de la base = 25,20cm
hauteur de l'aquarium = 50,40cm
:(
C'est vraiment trop bete ...
Si on exprime les longueurs L et h en dm, on a :
L2*h =32
Il faut rendre L2+4*L*h minimal
h = 32/L2
f(L) = L2 + 128/L doit être minimal
f'(L) = 2*L -128/L2 = 0
L3 = 64
L= 4 dm = 40 cm
et
h = 32/42= 2 dm = 20 cm
La surface intérieure du verre utilisé sera de 4800 cm2
a est le coté de la base carrée, h est la hauteur.
*** a = 4 dm et h = 2 dm ***
On connait le volume V = h*a² = 32 litres
On cherche à minimiser S = a²+4*a*h
grace à la première expression, on trouve h=32/a²
ainsi, on cherche à trouver le minimum de:
S = a²+4*a*32/a² = a²+128/a
on dérive et sur R+ (car a est positif) on trouve une seule solution a=4 dm
donc h = 32/a² = 32/4² = 2 dm
on trouve donc
*** a = 40 cm et h = 20 cm ***
Bonjour à tous,
Pour utiliser le moins de verre possible, l'aquarium devrait avoir pour dimensions Lxlxh : 40x40x20 (en cm).
Merci pour l'énigme.
Bonjour,
Les données sont en dm.
Comme je ne voulais pas poser a le côté de la base, b la hauteur càd 32/a/a,
je n'ai pas pu dériver l'aire a^2+4ab=a^2+128/a (2a-128/a/a) pour l'annuler et trouver a=4, b=2 mais je vous envois un tableau d'excel prouvant que le côté de la base mesure 4 (dm) et dès lors b=2 (dm).
col1: a
col2: b=32/a/a
col3: V=col1*col1*col2
col4: A=col1*col1+4*col1*col2
Soit x le côté de la base carrée de l'aquarium. (en dm)
Soit y sa hauteur. (en dm)
Volume intérieur total : V = x2y
Surface intérieure totale : S = x2 + 4xy
On doit avoir V = 32 soit x2y = 32
on en tire y = 32/x2
que l'on substitue dans la formule de la surface :
S = x2 + 4x(32/x2)
soit après simplification :
S = x2 + 128/x
Cette surface sera minimum lorsque sa dérivée sera nulle, d'où : S' = 2x - 128/x2 = 0
On en déduit x3 = 64 soit x = 4 dm
et y = 32/42 = 2 dm
L'aquarium est donc constitué d'une base carrée de 40 cm de côté et d'une hauteur de 20 cm.
salut J-P et bonjour à tous :
En considérant un aquarium de longueur L , de largeur l et de profondeur p , on trouve que pour utiliser le moin de verre possible, il faut :
L = 4 dm = 40 cm
l = 2 dm = 20 cm
p = 4 dm = 40 cm
merci pour l'énigme
romain
Salut!
Je trouve:
Une base de 18,57 cm, pour une hauteur de 9,28 cm (en arrondissant au dixieme de millimetre le plus proche).
Merci,
A+
biondo
Soit S la surface du verre et h la hauteur de l'aquarium
S=32/h + 16* (2h)^1/2 ou 32/h+16 racine de (2h)
cette fonction présente un minimum pour h=2
les dimensions sont donc 4x4x2 cm et la surface du verre : 48 cm²
yessss ! ça me fait passer 4e, je n'ai jamais été aussi bien classée...
Au fait, où est passé Infophile ? Le mois dernier, il n'en loupait pas une...
Merci J-P, tu es trop bon
Sauf que mon excuse n'est pas "C'est les vacances" mais plutôt "il est temps que mes vacances arrivent"
ça ne pourrait pas être aussi les vacances pour moi? lol
j'ai juste oublié de préciser l'unité, STP J-P soit clément!! merci
, je viens de relire l'énoncé et il est bien marqué :
" parallélépipédique à base carrée "
en fait, je me suis un peu " embété " pour rien avec mes trois inconnue.
il faut vraiment que j'apprenne à lire un énoncé
courage elda
romain
lyonnais,
********
elda,
Désolé, j'avais voulu être clément avec ceux qui ont oublié les unités (bien que ce n'est pas une petite faute), mais comme d'autres ont répondu en donnant de mauvaises unités, j'étais mal pris et ai donc été obligé de mettre un poisson.
T_P : Message édité
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