2) On a donc  HA² = - HB.HC (produit scalaire).
En décomposant selon la règle de Chasles le vecteur HA de deux manières différentes, tu devrais pouvoir démontrer ce qui est demandé.

Je n'y arrive pas à le démontrer en partant de HA²

Qu'as-tu essayé de faire ?

J'ai fais HA²= HA.HA
=(HB.BA)(HC.CA°
=HB.HC+HB.CA+BA.HC+BA.CA
=HB.HC+HB(CH+HA)+HC(BH+HA)+BA.CA
=HB.HC+HB.CH+HC.BH+BA.CA

Mon problème c'est le BA.CA je n'arrive pas à le faire disparaitre

A la 2ème ligne, c'est plutôt  (HB + BA).(HB + CA).
A la fin de la 3ème ligne, ajoute  = - HB.HC, puis simplifie le premier membre en regardant la figure et en appliquant une propriété du produit scalaire.

Je comprends pas comment vous montrer (HB + BA).(HB + CA) à la deuxième ligne??

=HB.HC+HB.CH+HC.BH+BA.CA
= -HB.HC+HB.CH+HC.BH+1/2(BA²+CA²-BC²)
= HC.BH

1/2(BA²+CA²-BC²) je peux dire que c'est égale à 0??
Est-ce que HC.BH=HB.HC??

Voici comment je fais :
HA² = - HB.HC (vecteurs)
(HB + BA).(HC + CA) = - HB.HC
HB.HC + HB.CA + BA.HC + BA.CA = - HB.HC
HB.HC + HB.CH + BH.HC + BA.CA = - HB.HC
BH.HC + BA.CA = BH.HC
BA.CA = 0.

Mais on a pas le droit de partir d'un équation qu'on ne connait pas??

HA² = - HB.HC  découle directement de l'énoncé.

Oui mais je voulais dire vu qu'on ne l'a pas montré on n'a le droit de partir de ça??

Au 1), on a montré que le produit scalaire HB.HC était égal à  - HB*HC.
Au 2), il est supposé que l'on a  HA² = HB*HC.
Dans cette hypothèse, on peut donc écrire  HA² = - HB.HC.

D'accord
Je voudrais savoir si ma démonstration est correcte??
HA²=HA.HA tous en vecteur
=(HB.BA)(HC.CA)
=HB.HC+HB.CA+BA.HC+BA.CA
=HB.HC+HB(CH+HA)+HC(BH+HA)+BA.CA
=HB.HC+HB.CH+HC.BH+BA.CA
=HB.HC+HB.CH+HC.BH+BA.CA
= -HB.HC+HB.CH+HC.BH+1/2(BA²+CA²-BC²)
= HC.BH

Il faut corriger la 2ème ligne pour lire :  (HB + BA).(HC + CA).
Après la 3ème ligne, deux termes disparaissent : HB.HA et HC.HA. Je ne comprends pas pourquoi.
Je ne comprends pas non plus ce que tu as tenté de démontrer.

HB.HA et HC.HA disparaissent parce que c'est perpendiculaire

Bah que le triangle ABC est rectangle en A

Oui, ça se tient finalement.
Mais tu as pris le problème à l'envers et tu as démontré que, si le triangle était rectangle, on avait la relation HA² = HB*HC.

Oui c'est vrai ^^"
Mais la meilleure façon est la tienne??

La mienne correspond mieux au texte de l'énoncé.

LOL oKay