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démonstrations

Posté par
rebecca 13-01-12 à 22:31

ABC est un triangle, on pose BC=a AC=b AB=c
A' est le milieu de [BC], B' est le milieu de [AC], C' est le milieu de [AB]
Soit G l'isobarycentre de ABC
1) Montrer que pour tout point M du plan                               MA²+MB²+MC²= 3MG²+ (a²+b²+c²)/3

2)En calculant de 2 façons différentes (MA²+MB²+MC²) établir que:         2MA.MA' + MB.MC= 3MG²- (a²+b²+c²)/6        [ MA,MA' MB et MC en vecteur les points signifient un scalaire]

Posté par
rebeccare : démonstrations 13-01-12 à 23:56

pour la question 1) c'est bon c'est la 2) qui me pose problème

Posté par
Hiphigeniere : démonstrations 14-01-12 à 07:53

Bonjour rebecca

D'une part, nous avons :  (\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC})^2 = (3\vec{MG})^2=9MG^2

D'autre part,

(MA}+\vec{MB}+\vec{MC})^2=\vec{MA}^2+\vec{MB}^2+\vec{MC}^2+2\vec{MA}.\vec{MB}+2\vec{MA}.\vec{MC}+2\vec{MB}.\vec{MC}

(MA}+\vec{MB}+\vec{MC})^2=\vec{MA}^2+\vec{MB}^2+\vec{MC}^2+2\vec{MA}.(\vec{MB}+\vec{MC})+2\vec{MB}.\vec{MC}

(MA}+\vec{MB}+\vec{MC})^2=\vec{MA}^2+\vec{MB}^2+\vec{MC}^2+2\vec{MA}.(2\vec{MA'})+2\vec{MB}.\vec{MC}

(MA}+\vec{MB}+\vec{MC})^2=\vec{MA}^2+\vec{MB}^2+\vec{MC}^2+4\vec{MA}.\vec{MA'}+2\vec{MB}.\vec{MC}

(MA}+\vec{MB}+\vec{MC})^2=(\vec{MG}+\vec{GA})^2+(\vec{MG}+\vec{GB})^2+(\vec{MG}+\vec{GC})^2+4\vec{MA}.\vec{MA'}+2\vec{MB}.\vec{MC}

(MA}+\vec{MB}+\vec{MC})^2=3\vec{MG}^2+\vec{GA}^2+\vec{GB}^2+\vec{GC}^2+2\vec{MG}.(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC})+4\vec{MA}.\vec{MA'}+2\vec{MB}.\vec{MC}.

Tu remplaces \vec{GA}^2+\vec{GB}^2+\vec{GC}^2 par sa valeur suivant la réponse de l'exercice 1) et tu sais que   \vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}

etc...

Posté par
rebeccare : démonstrations 14-01-12 à 14:26

merci beaucoup pour l'aide c'est gentil!!!

Posté par
Hiphigeniere : démonstrations 14-01-12 à 14:31

J'espère que tu as pu continuer et conclure... sinon dis-le  

Posté par
rebeccare : démonstrations 14-01-12 à 15:06

voici ce que j'ai fait
(MA+MB+MC)²= 3MG²+GA²+GB²+GC²+4MA.MA'+2MB.MC   et (MA+MB+MC)²= 9MG²
donc
3MG²+GA²+GB²+GC²+4MA.MA'+2MB.MC= 9MG² 4MA.MA'+2MB.MC= 6MG²-GA²+GB²+GC²
or dans la question 1) j'ai trouvé que GA²+GB²+GC²= (a²+b²+c²)/3
4MA.MA'+2MB.MC= 6MG²- (a²+b²+c²)/3
je mets 2 en facteur et ça donne  2(2MA.MA'+MB.MC)=2[3MG²-(a²+b²+c²)/6]
2MA.MA'+MB.MC= 3MG²-(a²+b²+c²)/6

PS: je voudrais savoir comment vous faites pour mettre les vecteurs merci

Posté par
Hiphigeniere : démonstrations 14-01-12 à 19:37

Belle résolution

Pour les vecteurs, j'uilise le Latex que tu trouves sur ce site.
Par exemple pour avoir ceci : \vec{AB}, j'écris   \vec{AB}    entre les balises du Latex que tu trouves sous le cadre de réponse (LTX)

Je ne sais pas si je me suis fait comprendre...

Posté par
rebeccare : démonstrations 16-01-12 à 20:18

Oui oui c'est bon et encore merci!!!

Posté par
Hiphigeniere : démonstrations 16-01-12 à 21:33

Au plaisir de te revoir.


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