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Sphère et plan tangent

Posté par
orivaa 22-01-12 à 10:01

Bonjour à tous,

Je me casse la tête sur ce problème depuis quelques jours et j'y arrive tout simplement pas, pourtant, il n'est pas si compliqué que ça... Le voici :

Citation :
Soit T un point de la sphère de centre C et de rayon r. Soit le plan tangent à au point T. Soit encore P un point de l'espace. Démonter l'affirmation suivante :

P \in \alpha   \Leftrightarrow   \overrightarrow{C T} \cdot \overrightarrow{C P} = r^2


Merci beaucoup pour votre future aide !

Posté par
Bachstelzere : Sphère et plan tangent 22-01-12 à 10:07

Bonsoir

trigonométrie élémentaire dans le triangle CTP.

Posté par
freniclere : Sphère et plan tangent 22-01-12 à 10:18

Bonjour,

On a
\vec{CP}=\vec{CT}+\vec{TP}
donc
\vec{CT}.\vec{CP}=CT^2+\vec{CT}.\vec{TP}=r^2+\vec{CT}.\vec{TP}
La condition
\vec{CT}.\vec{CP}=r^2
équivaut donc à
\vec{CT}.\vec{TP}=0
qui signifie que P appartient au plan tangent en T.

Posté par
orivaare : Sphère et plan tangent 22-01-12 à 10:49

Merci pour cette réponse ! Je me sens... Très bête maintenant.

Posté par
freniclere : Sphère et plan tangent 22-01-12 à 11:07

Il n'y a pas de quoi se sentir bête.
Que celui qui n'est jamais passé à côté d'une démonstration simple jette la première pierre


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