bonsoir
voilà un petit problème dans un exo:
à l'aide des accroissemnts finis, établir les inégalités suivantes:
1+x<e^X<1/1-X X]0,1[

alors:
pour l'inégalité à gauche j'ai:
supposons la fonction f(t)=e^t sur ]0,x[
e^t continue sur [0,x]
e^t dérivable sur ]0,x[
selon le Théorème des accroissements finis, il c]0,x[ tq:
f(x)-f(0)=xf'(c)
e^x-1=xe^c
  0<c<x donc on obtiendra :    x <xe^c<xe^x
                               x< e^x-1<xe^x
                          Nous aurons:        x+1< e^x (l'inégalité à gauche est obtenue) et on fait un raisonnement analogue pour c entre ]x,0[

pour l'inégalité à droite est-ce que j'ai le droit de supposer une autre fonction? par exemple:

1/e^t sur ]0,x[
dérivable sur ]0,x[
continue sur [0,x]
selon le TAF:
il existe un c]0,x[ tq:
(1/e^x) -1= (x)(-1/e^c)
puis: 0<c<x on aura après calculs: -x<-x/(e^c)<-x/e^x
                                       -x<(1/e^x)<-x/e^x
au final:  e^x<1/(1-x) (l'inégalité à droite) raisonnement analogue pour intervalle ]x,0[

on en conclut que 1+x<e^x<1/(1-x)
alors?