Bonsoir,

Raisonne par l'absurde.

je ne sais pas comment

c)

p = 7b - 2a
n = -3b + a

montre que si d|p et d|n alors d|a et d|b
et comme d|a et d|b alors d|p et d|n
alors PGCD(a; b) = PGCD(p, n)

Tu supposes qu'il existe x diviseur de p et n supérieur à d. Et tu montres que tu aboutis à une absurdité.

merci à vous deux

Bonsoir pgeod,

Ce n'est pas suffisant. Il faut aussi montrer que c'est le pgcd.

salut thiblepri

non, je crois que c'est suffisant.

puisque la démo est faite quelque soit d diviseur de p et de n, à fortiori donc si d est PGCD (p, n)
et dans l'autre sens quelque soit d diviseur de a et b, à fortiori donc si d est PGCD (a, b)

et donc PGCD(p, n) divise a et b et PGCD (a, b) divise p et n
donc  PGCD(p, n) = PGCD (a, b)

Ok... Désolé je n'ai pas été assez attentif. Effectivement c'est suffisant.

je pense que thiblepri a raison mais je ne suis pas vraiment habituée à ce type de raisonnement.
alors si vs pouvez m'aider un peu plus.

d'accord merci pgeod.

Ok pour le raisonnement de pgeod:

Comme les diviseurs de a et b sont exactement les mêmes que ceux de p et n, forcément le plus grand élément des diviseurs de a et b est le plus grand des diviseurs de p et n.

Pour mon raisonnement:

Supposons qu'il existe x diviseur de p et n supérieur à d. Alors comme x divise p et n, x divise 7n+3p, donc x divise a. De même, comme x divise p et n, x divise 2n+p, donc x divise b. Or d est le pgcd de a et b, donc il est absurde de supposer qu'il existe x diviseur de p et n supérieur à d, donc d est le plus grand diviseur de p et n. Donc d est le pgcd de p et n.

Désolé pour le retard

c'est plus clair maintenant
merci

De rien, à bientôt.

Il reste une dernière question et je n'arrive pas à y répondre.
En déduire que 7n+3 et 2n+1 sont premiers entre eux.

Ok, essaye de faire apparaître quelque chose de similaire à l'énoncé...

si je t'ai bien compris:
p=1
et 7b-2a=1

Mais non.

Si tu poses a=7n+3 et b=2n+1, alors le pgcd de a et b est le pgcd de quoi et quoi?

est le pgcd de n et 1

oui

Donc....

pgcd(n;1)=1=pgcd(a;b)
alors a et b sont premiers entre eux

merci

De rien, à bientôt.