Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Fonction LogarithmeTopics traitant de Fonction Logarithme [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Etude d'un phénomène évolutif

Posté par
misterjiji 19-09-12 à 19:40

Bonjour,

J'ai un DM de maths dans le chapitre des fonctions exponentielles.
Seulement je bloque à la question 1 donc je suis bloqué pour le reste. Si quelqu'un peut me donner un petit coup de pouce pour me mettre sur la voie afin de déterminer a et b, je suis preneur Pour le reste, je verrai si je bloque par la suite, je l'ai mise au cas où.
Dans le repère mis ci-joint, on a représenté la courbe qui représente la fonction qui à chacun des 30 premiers jours d'apprentissage d'un apprenti associe le nombre de pièces qu'il a fabriquées.
est la courbe représentative de la fonction f définie sur [1;30] par : f(t)=b exp[a(-t)] +40 où a et b désignent deux nombres réels fixés et f(t) est le nombre de pièces produites par l'apprenti à la fin de la journée t.

1) La droite (AB) est tangente à en A. Utiliser les données du graphique pour déterminer, par calcul, les valeurs de a et b.

2) On admet que, pour tout t de [1;30], f(t)=-35 exp[0,1(1-t)] +40. Dans cette question, les résultats seront arrondis à l'unité.
a) Déterminer le nombre de pièces produites par l'apprenti lors du 5e jour.
b) Déterminer le nombre de pièces produites par l'apprenti lors des 5 premiers jours.

3) Quel est le rôle de l'algorithme ci-dessous?
Entrée
Saisir un nombre entier naturel n non nul
Initialisation
S prend la valeur de 0
Traitement
Pour i de 1 jusqu'à n
S prend la valeur de S+40-35 exp[0,1(1-i)]
FinPour
Sortie
Afficher S

4) Saisir cet algorithme sur une calculatrice afin de répondre à la question suivante. L'entreprise souhaite que l'apprenti ait une production moyenne journalière de 40 pièces par jour. L'entreprise sera-t-elle satisfaite au bout de 20 jours? de 30 jours?

Etude d\'un phénomène évolutif

Posté par
Pierre_Dre : Etude d'un phénomène évolutif 21-09-12 à 00:14

Bonjour,

Le coefficient directeur (m, à estimer à partir du graphique) de la droite AB est la valeur de la dérivée de f pour x=1.
Le graphe de passe par A(1;5).

On a donc les deux équations :
f(1)=5
f'(1)=m
f et f' étant à remplacer par leurs expressions où figurent a et b.

Posté par
misterjijire : Etude d'un phénomène évolutif 22-09-12 à 23:50

Bonsoir,

Si j'ai bien compris :
f'(1) est le coefficient directeur de la droite AB?

Posté par
Pierre_Dre : Etude d'un phénomène évolutif 23-09-12 à 00:22

Ca ne devrait pas te surprendre !

Posté par
misterjijire : Etude d'un phénomène évolutif 24-09-12 à 00:11

Je trouve m=3,5
f'(1)=3,5

Posté par
Pierre_Dre : Etude d'un phénomène évolutif 24-09-12 à 00:15

Oui

Posté par
misterjijire : Etude d'un phénomène évolutif 24-09-12 à 00:21

f(1)=b exp[a(-1)]+40

Posté par
misterjijire : Etude d'un phénomène évolutif 24-09-12 à 00:23

5=b exp[a(-1)]+40

Posté par
misterjijire : Etude d'un phénomène évolutif 24-09-12 à 00:32

J'ai vraiment du mal avec la fonction exponentielle
Je ne vois pas comment trouver a et b...
C'est sûrement tout simple mais on a jamais fait d'exercices de ce genre.

Posté par
Pierre_Dre : Etude d'un phénomène évolutif 24-09-12 à 11:12

\small f(t)=b e^{-at}+40\textrm{  et  }f(1)=5\quad : \quad be^{-a}+40=5
\small f'(t)=-ab e^{-at}\textrm{  et  }f'(1)=\dfrac72\quad : \quad -abe^{-a}=\dfrac72

système à résoudre (facilement) en a et b.

Posté par
misterjijire : Etude d'un phénomène évolutif 24-09-12 à 20:28

Si je remplace X=-a et Y=b
Yexp(X)+40=5
XYexp(X)=7/2

Posté par
misterjijire : Etude d'un phénomène évolutif 24-09-12 à 21:31

Serait-il possible d'avoir les réponses de la 1 et la 2 au moins pour présenter quelque chose demain...
Je dirais que je n'ai pas réussi l'algorithme.

Posté par
misterjijire : Etude d'un phénomène évolutif 24-09-12 à 21:55

y = f'(a) (x-a) + f(a)
y = 7/2x + 3/2

Je n'arrive à trouver la dérivée.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Etude d'un phénomène évolutif 24-09-12 à 22:18

Bonjour,

A partir du système proposé par Pierre_D...
De la première équation, tu peux en déduire la valeur de b.e^(-a).
En reportant dans la seconde, tu peux en déduire la valeur de a.
En reportant dans l'expression trouvée pour b.e^(-a), tu pourras en déduire la valeur de b.

Nicolas

Posté par
misterjijire : Etude d'un phénomène évolutif 24-09-12 à 22:25

a=0.1 et b=-35

Posté par
misterjijire : Etude d'un phénomène évolutif 24-09-12 à 22:30

Au 5e jour : f(5)=-35.e^(0.1(1-5))+40

Posté par
misterjijire : Etude d'un phénomène évolutif 24-09-12 à 22:35

Je trouve 16.53...
Par contre je mets 16 ou 17 pièces? Car c'est arrondi à l'unité mais il fait 16 pièces et un bout de la 17e donc ça devrait être 16 pièces.

Posté par
misterjijire : Etude d'un phénomène évolutif 24-09-12 à 22:53

Et déterminer le nombre de pièces lors des 5 premiers jours, je dois additionner ce que je trouve pour les 5 jours ou alors il y a une méthode plus simple?

Posté par
Pierre_Dre : Etude d'un phénomène évolutif 24-09-12 à 23:28

Tu peux donner la réponse "16,53 , arrondie par défaut à 16 ou au plus proche à 17".

Pendant 5 jours :  \small N=\sum_1^5(40-35e^{0,1(1-t)})=200-35e^{0,1}\sum_1^5e^{-0,1t}=200-35e^{0,1}\sum_1^5(e^{-0,1})^t
et je suppose que tu sais calculer cette somme du type  \small r+r^2+r^3+r^4+r^5  avec ici  \small r=e^{-0,1}

Posté par
misterjijire : Etude d'un phénomène évolutif 24-09-12 à 23:35

(e^x)n=e^nx
Donc 200-35.e(0.1)[e(-0,1)]1
Et après je calcule avec les autres?

Posté par
Pierre_Dre : Etude d'un phénomène évolutif 24-09-12 à 23:41

Non,  \small r+r^2+r^3+r^4+r^5=r(1+r+r^2+r^3+r^4)=r\dfrac{1-r^5}{1-r}  (somme de termes d'une série géométrique)

Posté par
misterjijire : Etude d'un phénomène évolutif 24-09-12 à 23:48

Je trouve 5.58

Posté par
misterjijire : Etude d'un phénomène évolutif 24-09-12 à 23:53

Je ne comprends pas comment tu passes de N= à 200-35e(0.1)e(-0.1t)

Posté par
misterjijire : Etude d'un phénomène évolutif 25-09-12 à 00:29

Pour l'algorithme, je ne sais pas comment le faire sur une Casio.

Posté par
Pierre_Dre : Etude d'un phénomène évolutif 25-09-12 à 18:54

Puisqu'il faut détailler, détaillons :

Pendant 5 jours :  \small N=\sum_1^5(40-35e^{0,1(1-t)})=\sum_1^5(40-35e^{0,1-0,1t})=\sum_1^5(40-35e^{0,1}e^{-0,1t})=\sum_1^540-\sum_1^535e^{0,1}e^{-0,1t}=200-35e^{0,1}\sum_1^5e^{-0,1t}=200-35e^{0,1}\sum_1^5(e^{-0,1})^t

Posté par
Pierre_Dre : Etude d'un phénomène évolutif 25-09-12 à 19:08

En outre 5,58 pièces pour 5 jours, alors qu'il en fait déjà 5 le premier jour, est manifestement faux. Le bon résultat est de l'ordre de 10 fois celui-ci.

Posté par
Chopinre : Etude d'un phénomène évolutif 04-12-12 à 18:56

Bonjour,
Je n'ai pas compris la question pour trouver la tangente. Je me perd dans les explications données. Serait - il possible de me réexpliquer SVP
Merci

Posté par
Pierre_Dre : Etude d'un phénomène évolutif 04-12-12 à 19:09

Il s'agit simplement de déterminer sur la figure le coefficient directeur  (26-5)/(7-1)  de cette tangente en A, qui est la valeur de la dérivée pour t=1.

Posté par
Chopinre : Etude d'un phénomène évolutif 04-12-12 à 19:47

Ah ok merci

Posté par
devinoure : Etude d'un phénomène évolutif 08-01-13 à 11:22

Bonjour. Mon professeur m'a donné le même exercice à faire. Cependant, je bloque à la question 3. Je n'arrive pas à faire l'algorithme. Serait-il possible de me l'expliquer svp?

Posté par
Pierre_Dre : Etude d'un phénomène évolutif 08-01-13 à 14:00

Bonjour Devinou,

Tu vois que cet algorithme fait la somme de n termes, pour i allant de 1 à n par pas de 1 ; chacun de ces termes vaut  40-35 exp[(1-i)/10] , que j'exprime 1*( 40-35 exp[(1-i)/10] ) pour te mettre sur la voie. Est-ce que cela te fait penser à quelque chose ?

Posté par
devinoure : Etude d'un phénomène évolutif 08-01-13 à 18:04

euh l'expression de f(t)?

Posté par
Pierre_Dre : Etude d'un phénomène évolutif 08-01-13 à 18:06

Oui, et plus précisément quand je multiplie cette ordonnée par une longueur 1 en abscisse ?

Posté par
devinoure : Etude d'un phénomène évolutif 08-01-13 à 18:10

J'ai du mal à comprendre là..

Posté par
Pierre_Dre : Etude d'un phénomène évolutif 08-01-13 à 18:14

Il n'y a rien à "comprendre" ici : j'essayais simplement de te suggérer de penser aux rectangles de largeur 1 et de hauteur f(t), pour t = 1,2,3,4 ...etc, sur le graphe de f .

Posté par
devinoure : Etude d'un phénomène évolutif 08-01-13 à 18:16

Est-ce que vous pouvez le formuler autrement svp?

Posté par
devinoure : Etude d'un phénomène évolutif 08-01-13 à 18:17

Pardon, je n'avais pas vu votre réponse. Mais j'ai du mal à savoir où vous voulez en venir.
En fait, j'ai essayé de saisir cet algorithme sur logiciel mais, il y'a une erreur quelque part que je ne trouve pas.

Posté par
Pierre_Dre : Etude d'un phénomène évolutif 08-01-13 à 18:42

Je veux en venir à une approximation par excès de l'aire sous la courbe entre x=0 et x=n, c'est-à-dire de l'intégrale  \small\int_0^nf(t)dt

Posté par
devinoure : Etude d'un phénomène évolutif 08-01-13 à 18:51

Ah mais je n'ai pas encore vu les intégrales

Posté par
Pierre_Dre : Etude d'un phénomène évolutif 08-01-13 à 18:54

Alors ne parle que de l'aire !

Posté par
Melanie_Lre : Etude d'un phénomène évolutif 24-09-13 à 19:18

J'ai le même exercice à faire pour vendredi, pour la 1) question j'arrive a trouver b = -35 avec f(t) = be^a(1-t)+40 avec f(1) = 5 mais je n'arrive pas a voir comment trouver la valeur de a, même avec le système :/ Pourriez-vous m'aider svp ?

Posté par
Melanie_Lre : Etude d'un phénomène évolutif 24-09-13 à 20:02

Pour le reste des questions, je trouve :
2) a) f(5) = 16.53
2) b) f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = environ 55 pièces (j'ai vérifie avec votre méthode du et les résultats concordent
3)a)Je pense que cet algorithme correspond à la question 2) b) (donc de calculer la somme des pièces fabriquées par l'apprentis a la fin d'un jour donné)
3) b) J'ai rentré l'algorithme dans ma calculatrice, j'ai fais un essai avec la somme des pièces fabriquées au bout du 5ème jour ( 2) b) ) et mes résultats concordent mais si je fais marqué l'algorithme avec 20 et 30 jours en divisant le résultat par le nombre de jours vu qu'une moyenne par jour est demandée, ce n'est ni au bout de 20 jours ni au bout de 30 (24 et 28 pièces de moyennes pour les calculs respectifs).
Cela vous parait-il cohérent ?

Il me manque seulement la manière de trouver la valeur de a :/
Merci d'avance

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Etude d'un phénomène évolutif 24-09-13 à 21:44

Bonjour,

1) Il suffit de résoudre le système de ce message avec la méthode proposée dans ce message.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Etude d'un phénomène évolutif 24-09-13 à 21:47

3)b) Cela me semble cohérent.

Le nombre de pièces produites le jour t est : f(t) = -35 e^{0,1(1-t)} +40

Le nombre moyen de pièces produit pendant les n premiers jours est : \dfrac{f(1)+...+f(n)}{n}=40-\mathrm{quelque\ chose\ de\ positif}<40

Posté par
Pierre_Dre : Etude d'un phénomène évolutif 24-09-13 à 21:55

Le modèle est  \small f(t)=b e^{-at} +40
Le graphique nous montre que :
\small f(t)=b e^{-at}+40\textrm{  et  }f(1)=5\quad : \quad be^{-a}+40=5
\small f'(t)=-ab e^{-at}\textrm{  et  }f'(1)=\dfrac72\quad : \quad -abe^{-a}=\dfrac72

Soit  \small be^{-a}=-35   (première équation)
Donc  \small -a(-35)=\dfrac72   (report dans la deuxième équation) , soit directement :  \small a=0.1
D'où  \small be^{-0.1}=-35   (report de la valeur de a dans la première équation), soit directement :  \small b=-35\;e^{0.1}

Le modèle s'écrit donc :  \small f(x)=-35\;e^{0.1}\;e^{-0.1t}\text{  soit encore, si l'on veut :  }f(x)=-35\;e^{0.1-0.1t}=-35\;e^{0.1(1-t)}

Posté par
Melanie_Lre : Etude d'un phénomène évolutif 24-09-13 à 22:05

Merci beaucoup, tout est clair maintenant

Posté par
Pierre_Dre : Etude d'un phénomène évolutif 24-09-13 à 22:11

Oui, à condition d'ajouter le 40 que j'ai bêtement oublié dans les équations de ma dernière ligne !

Posté par
Beckett76re : Etude d'un phénomène évolutif 18-09-14 à 18:11

Bonsoir, j'ai le même devoir a faire en terminale S.
Je ne comprend pas car pour la question 3 c'est noté dans l'énoncé "au bout de 20 jours" "au bout de 30 jours" ?
Mais avec l'algorithme que j'ai rentré dans ma calculatrice je ne trouve pas du ça. Je trouve au bout de plus de 900 jours...
Car je divise le résultat donnée par l'algorithme par le nombre de jours notée "i" (dans l'algo)...

Est ce normal ?

Merci d'avance

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Etude d'un phénomène évolutif 21-09-14 à 15:11

Bonjour,

Au bout de combien de jours exactement trouves-tu l'on obtient un rythme de 40 pièces par jour en moyenne ?

Nicolas


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !