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Polynôme de Bernstein


licencePolynôme de Bernstein

#msg4467789#msg4467789 Posté le 26-12-12 à 17:53
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Bonsoir,

Je suis en train dé'essayer de comprendre une démonstration, et j'i un petit blocage.

Voilà, j'ai comme polynôme de Berstein : B_{n,k}=C_n^kx^k(1-x)^{n-k}

Je voudrais savoir dans quelle mesure on a :

\Sigma_{k=2}^nk(k-1)B_{n,k}=\Sigma_{k=0}^nk(k-1)B_{n,k}

Merci
re : Polynôme de Bernstein#msg4467791#msg4467791 Posté le 26-12-12 à 17:54
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Salut

Parce que quand on fait k=0 ou k=1 alors k(k-1) est nul, donc autant faire commencer la somme avec le premier terme non nul à savoir k=2
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re : Polynôme de Bernstein#msg4467796#msg4467796 Posté le 26-12-12 à 17:55
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Bonjour

Comme pour k=0 et pour k=1 on a k(k-1)=0, tu ne changes rien en ajoutant deux termes nuls à la première somme!
re : Polynôme de Bernstein#msg4467798#msg4467798 Posté le 26-12-12 à 17:56
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Salut gui_tou tu t'ennuyes en vacances?
re : Polynôme de Bernstein#msg4467801#msg4467801 Posté le 26-12-12 à 17:57
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Je te remercie Guitou,

Mais là en l'occurence ce serait dans "le sens inverse".

On est en k=0, et on passe en k=0, mais l'indice n lui ne change pas.
re : Polynôme de Bernstein#msg4467805#msg4467805 Posté le 26-12-12 à 17:58
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Salut Camélia, et oui, je fais ma BA de fin d'année en retournant un peu sur l'île!
re : Polynôme de Bernstein#msg4467812#msg4467812 Posté le 26-12-12 à 18:00
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Ah ça y est, ok !!!!

Merci à tous les 2.
re : Polynôme de Bernstein#msg4467832#msg4467832 Posté le 26-12-12 à 18:08
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Pour ma gouverne, quelle est la différence entre les polynôme de Bernstein (que je suis en train de voir) et les polynômes d'interpolation de Lagrange (que je n'ai jamais vus) ?

Merci
re : Polynôme de Bernstein#msg4467836#msg4467836 Posté le 26-12-12 à 18:10
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Ca n'a rien à voir! Ils ne servent pas à la même chose!
re : Polynôme de Bernstein#msg4467843#msg4467843 Posté le 26-12-12 à 18:12
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Ah ...

Et y'a t-il aussi une approximation des fonctions par des polynômes ?
re : Polynôme de Bernstein#msg4467876#msg4467876 Posté le 26-12-12 à 18:27
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Là aussi ça dépend de ce qu'on veut... Un polynôme de Lagrange est un polynôme de degré n qui coïncide avec la fonction en n points. Mais si on augmente le nombre de points ça ne converge pas forcément uniformément, quoique ça diffère peu...
re : Polynôme de Bernstein#msg4467880#msg4467880 Posté le 26-12-12 à 18:30
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Je te remercie.
re : Polynôme de Bernstein#msg4467881#msg4467881 Posté le 26-12-12 à 18:31
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Dis-moi Camelia,

y'a t-il un quelconque lien entre convergence uniforme et continuité uniforme ?
re : Polynôme de Bernstein#msg4467882#msg4467882 Posté le 26-12-12 à 18:31
Posté par ProfilGaBuZoMeu GaBuZoMeu

Salut Camelia,

Pourquoi dis-tu que ça ne converge pas uniformément ? (en interpolant une fonction continue sur [a,b] fixé, avec des points uniformément répartis).
re : Polynôme de Bernstein#msg4467884#msg4467884 Posté le 26-12-12 à 18:32
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

.... ou plutôt entre non contiuité uniforme et non convergence uniforme ?
re : Polynôme de Bernstein#msg4467907#msg4467907 Posté le 26-12-12 à 18:39
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Salut GaBuZoMeu

C'est pas ça, le phénomène de Runge?
re : Polynôme de Bernstein#msg4467923#msg4467923 Posté le 26-12-12 à 18:49
Posté par ProfilGaBuZoMeu GaBuZoMeu

Ok, tu as raison ! On a effectivement un meilleur contrôle avec les polynômes de Bernstein.
re : Polynôme de Bernstein#msg4467926#msg4467926 Posté le 26-12-12 à 18:50
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

> Leo Pour convergence ou continuité uniforme, à nouveau on ne parle de la même chose (suites ou UNE fonction). Mais le mot uniforme désigne le même genre de propriété... sur l'ordre des quantificateurs!
re : Polynôme de Bernstein#msg4469552#msg4469552 Posté le 27-12-12 à 16:43
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Juste pour ne pas laisser un truc pas juste sur l'

le 26-12-12 à 18:27

Un polynôme de Lagrange est un polynôme de degré n qui coïncide avec la fonction en n+1 points
re : Polynôme de Bernstein#msg4470868#msg4470868 Posté le 28-12-12 à 08:20
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Merci.

Tout cela me soulève quelque(s) question(s).

Léo  
re : Polynôme de Bernstein#msg4471382#msg4471382 Posté le 28-12-12 à 14:16
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Je t'attends de pied ferme!
re : Polynôme de Bernstein#msg4472919#msg4472919 Posté le 29-12-12 à 10:04
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

J'imagine bien Camelia, j'imagine bien, toujours là sur le pied de guerre !

Bon, j'ouvre ma boite à questions (je me place dans \R) :

(f_n)_{n\in\N} suites de fonctions continues

On a le fait que si la fonction f est limite uniforme de la suite de fonctions (f_n)_{n\in\N} sur [a,b]\text{  }(a<b) , alors f est nécessairement uniformément continue sur [a,b] car continue sur [a,b] (Heine).

Dans ce cas, f est (aussi) limite uniforme d'une suite de fonctions polynomiales (P_n)_{n\in\N} sur [a,b] (Stone-Weierstrass)

Par contre, le fait que la fonction f soit limite uniforme de la suite de fonctions (f_n)_{n\in\N} sur \R tout entier, n'implique pas forcément le fait que f soit uniformément continue sur \R.

Eu égard à l'ensemble de ces points (s'ils sont vrais), qu'est-ce qui peut différencier en terme de propriétés remarquables (si il y en a ) 2 suites de fonctions telles que :

(f_n)_{n\in\N} converge uniformément vers f sur un ensemble E, f étant uniformément continue sur E

(g_n)_{n\in\N} converge uniformément vers g sur un ensemble E, g n'étant pas uniformément continue sur E

Merci
re : Polynôme de Bernstein#msg4473039#msg4473039 Posté le 29-12-12 à 11:34
Posté par Profilcarpediem carpediem

il faut distinguer :

la convergence uniforme et les propriétés éventuelles de la limite

(x2 + 1/n) converge uniformément vers x2 (qui n'est pas uniformément continue)

(x + 1/n) converge uniformément vers x (qui est uniformément continue) ....

l'expression "uniformément continue" signifie simplement que "la manière dont se fait la continuité" ne dépend pas du point où l'on se place ....
re : Polynôme de Bernstein#msg4473181#msg4473181 Posté le 29-12-12 à 12:28
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Bonjour Carpediem,

Je te remercie.

D'où ma question, cela implique t-il des propriétés différentes (ou remarquables) pour chacune des suites de fonctions qui convergeraient vers ces limites uniformes, l'une étant continue uniformément, l'autre pas.
re : Polynôme de Bernstein#msg4473212#msg4473212 Posté le 29-12-12 à 12:39
Posté par Profilcarpediem carpediem

non ...
re : Polynôme de Bernstein#msg4473405#msg4473405 Posté le 29-12-12 à 13:48
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

D'accord avec carpediem; je ne vois rien de particulier à dire...
re : Polynôme de Bernstein#msg4474107#msg4474107 Posté le 29-12-12 à 17:25
Posté par ProfilLeonegres Leonegres

Ok, merci.
Au moins une direction où je n'aurai pas à chercher, il y en a tant d'autres

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