Niveau terminale

Somme de modules cas d'égalité

Posté par
raf38 28-01-13 à 18:32

Bonjour,
J'aimerais démontrer que
$\\ \\ $\displaystyle\left|\sum_{i=1}^n a_i\right|$=\sum_{i=1}^n \left| a_i \right|$ \\ \\$

Avec a des complexes quelconques non nuls
Si et seulement si tous les a ont le même argument.

Cette condition est clairement suffisante puisque je peux si tous les a ont le même argument je peut les exprimer sous la forme $\\ r_i \times a_i=a_1 \\ \\$
avec r un réel.
Par contre, comment justifier qu'elle est nécessaire ?
J'aimerais procéder par récurrence sur n, mais l'initialisation me pose un problème.

Merci d'avance, Raphael

Posté par re : Somme de modules cas d'égalité 28-01-13 à 19:37

Bonjour,

Pose $a_1=r_1\,\cos\,\theta_1$ et $a_2=r_2\,\cos\,\theta_2$

Montre que $|a_1+a_2|=|a_1|+|a_2|\Longleftrightarrow \cos\,(\theta_2-\theta_1)=0$

Posté par re : Somme de modules cas d'égalité 28-01-13 à 19:38

Zut!

Pose $a_1=r_1\,(\cos\,\theta_1+i \,\sin\,\theta_1)$ et $a_2=r_2(\,\cos\,\theta_2+i\,\sin\,\theta_2)$

Posté par re : Somme de modules cas d'égalité 28-01-13 à 20:19

Jy suis arrivé avec les produits scalaires depuis jaimerais bien voir ta methode par contre
Et ce ne serait pas cosx=1 ?

Posté par re : Somme de modules cas d'égalité 29-01-13 à 01:14

Avec des équivalences entre chaque ligne:

$|a_1+a_2|=|a_1|+|a_2|$

$|a_1+a_2|^2=(|a_1|+|a_2|)^2$

$|r_1\,\cos\,\theta_1+r_2\,\cos\,\theta_2+i(r_1\,\sin\,\theta_1+r_2\,\sin\,\theta_2)|^2=(r_1+r_2)^2$

$(r_1\,\cos\,\theta_1+r_2\,\cos\,\theta_2)^2+(r_1\,\sin\,\theta_1+r_2\,\sin\,\theta_2)^2=r_1^2++2r_1r_2+r_2^2$

$2\,r_1r_2\,(\cos\,\theta_1\,\cos\,\theta_2+\sin\,\theta_1\,\sin\,\theta_2)=2\,r_1r_2$

$\cos\,(\theta_1-\theta_2)=1$

$\theta_1=\theta_2+2k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$

Posté par re : Somme de modules cas d'égalité 29-01-13 à 10:31

C'est plus clair,
Merci beaucoup d'avoir pris le temps de l'écrire !

Posté par re : Somme de modules cas d'égalité 29-01-13 à 10:35

De rien raf38 _{et il y avait effectivement une erreur de frappe avec le cosinus nul alors qu' il vaut 1}

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