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Produit scalaire 1ère S

Posté par
opheliiie 27-03-13 à 23:10

Bonsoir J'aurais besoin que vous me corrigiez mon exercice pour savoir si j'ai des fautes pour que je puisse les rectifier par la suite ! Merci

L'exercice :
Dans un carré direct ABCD, de côté égal à l'unité de longueur, on considère les points I et J définis par \overrightarrow{AI} = 1/5 \overrightarrow{AD} et \overrightarrow{CJ} = 2/5 \overrightarrow{CB}.
Un point M décrit le segment [DC]. On pose DM=xDC.

1) Déterminer x pour que les droites (IJ) et (BM) soient perpendiculaires. (On pourra utiliser le repère (A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) après avoir justifié qu'il est orthonormé)
Le repère (A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) est orthonormé car ABCD est un carré direct.

Dans le repère (A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) B (1;0), I(0;1/5), J(1;3/5) et M(x ; 1).
Pour que les droites (IJ) et (BM) soient perpendiculaires, les vecteurs \overrightarrow{IJ} \left( {1};{2/5} \right) et \overrightarrow{BM} \left( {x-1};{1} \right) doivent être orthogonaux :
on utilise la formule \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{x}\overrightarrow{x}' + \overrightarrow{y}\overrightarrow{y}' = 0    \overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{BM} = x-1 + \frac{2}{5} = 0    d'où  x = \frac{3}{5}

2) Dans la suite, on désigne K le point de [DC] tel que: DK= 3/5DC.
a. Le triangle IJK est-il rectangle?

Dans le repère (A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) K (3/5;1), I(0;1/5) et J(1;3/5).
Pour que le rectangle IJK soit rectangle, les vecteurs \overrightarrow{IK} \left( {3/5};{4/5} \right) et \overrightarrow{JK} \left( {-2/5};{2/5} \right) doivent être orthogonaux :
on utilise la formule \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{x}\overrightarrow{x}' + \overrightarrow{y}\overrightarrow{y}' = 0    \overrightarrow{IK}.\overrightarrow{KJ} = \frac{3}{5}* (\frac{-2}{5}) + \frac{4}{5}*\frac{2}{5} = \frac{-6}{25} + \frac{8}{25} = \frac{2}{25}

\frac{2}{25} 0 donc le triangle IJK n'est pas rectangle.


b. Déterminer une valeur approchée à 0.1° près de l'angle IJK.
Pour cette question je n'y arrive pas du tout :/

3) Soit H le point d'intersection des droites (BK) et (IJ) et L le point d'intersection de la droite (IJ) avec la parallèle à (BK) passant par D.
a. Etablir que IJ= KB= \frac{\sqrt{29}}{5}

KB = \sqrt{(xK-xB)^2 + (yK-yB)^2} = \sqrt{(\frac{3}{5} - 1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(\frac{-2}{5})^2 + 1} = \sqrt{\frac{4}{25} + 1} = \frac{\sqrt{29}}{25} = \frac{\sqrt{29}}{5}


b. Justifier précisément que \overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{DK}= IJ*LH. En calculant \overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{DK} d'une autre façon (linéaire ou repère) déterminer la valeur de LH.

\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{DK} = IJ*LH car L et H sont les projetés orthogonaux respectifs de D et K.

\overrightarrow{IJ} (1;2/5) et \overrightarrow{DK} (3/5;0)

\overrightarrow{IJ}*\overrightarrow{DK} = 1*0 + 2/5*3/5 = 6/25 \\ LH = \frac{6}{25}/{IJ} = \frac{6}{25}*{\frac5\sqrt{29}} = \frac{30}{25\sqrt{29}} = \frac{6}{5\sqrt{29}}

c. En calculant \overrightarrow{KJ}.\overrightarrow{KB} de deux façons, montrer que KH = \frac{14}{5\sqrt{29}}.

\overrightarrow{KJ}(2/5; -2/5) et \overrightarrow{KB}(2/5 ; -1)

\overrightarrow{KJ}*\overrightarrow{KB} = KH*KB \\ \overrightarrow{KJ}*\overrightarrow{KB} = 2/5*(-1) + (-2/5)*(2/5) = -2/5 - 4/25 = -14/25  d'où  KH = -14/25   

KB = \frac{-14}{25}*{\frac5\sqrt{29}} = \frac{-70}{25\sqrt{29}} = \frac{-14}{5\sqrt{29}}   donc    HK = \frac{14}{5\sqrt{29}}

d. On admet que DL = 4/racine de 29.
Déterminer l'aire du trapèze DLHK.

Airetrapèze = \frac{(B + b)*h}{2} \\ = \frac{(DL + KH)*LH}{2}

Je trouve donc au final : Airetrapèze = \frac{102}{5\sqrt{29}}

Voilà j'espère que tout est correct qu'une aide se présentera pour la 2.b). Merci d'avance

Posté par
Pierre_Dre : Produit scalaire 1ère S 27-03-13 à 23:38

Bonjour,

1) D'accord
2a) D'accord
2b)   \small\cos(\vec{JK},\vec{JI}).|\vec{JK}|.|\vec{JI}| = \vec{JK}\cdot\vec{JI}

Posté par
Pierre_Dre : Produit scalaire 1ère S 27-03-13 à 23:51

3a) Il faut aussi calculer IJ, ou montrer autrement qu'il est égal à KB

3b) Erreur dans le calcul de  \small\vec{IJ}\cdot\vec{DK}

3c) Et erreur dans le calcul de  \small\vec{KJ}\cdot\vec{KB}

3d) A revoir vu la fausseté de LH ...

Posté par
steenre : Produit scalaire 1ère S 27-03-13 à 23:52

Bonsoir,

Tout cela m'a l'air pas mal.

Juste quelques remarques:

1) Que ton carré soit direct ou pas n'influe pas sur le fait que ton repère est orthonormé. Repère orthonormé signifie vecteurs UNITAIRES ORTHOGONAUX et rien de plus. Sinon on parle de repère orthonormé direct.

.=xx'+yy', (x;y) et (x';y') étant les coordonnées des vecteurs et dans un repère orthonormé. Donc, pas de vecteur quand on parle de coordonnées.

2)b) Voir ce qu'a écrit Pierre_D

Bon courage!

Posté par
steenre : Produit scalaire 1ère S 27-03-13 à 23:53

... Et pour la suite, voir aussi ce qu'a écrit Pierre_D!

Posté par
opheliiiere : Produit scalaire 1ère S 28-03-13 à 12:40

Bonjour !

Pour 3a) si je reprend la même méthode qu'avec KB je trouve IJ = \frac{\sqrt{241}}{\sqrt{225}} = \frac{\sqrt{241}}{15} c'est donc différent de KB :s

pour les 3b) et 3c) je ne vois pas mon erreur dans les calculs je les ai refait mais à part ma méthode je ne vois pas du tout :/

pour la 2b) je le ferai après car je suis à l'école pour le moment

Posté par
Pierre_Dre : Produit scalaire 1ère S 28-03-13 à 13:29

3a) Comment peux-tu te tromper en calculant  \small\sqrt{1^2+\left(\dfrac25\right)^2}  ?

3b) 3c)

Citation :
\small\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = xx' + yy'    ( plutôt que \small\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{x}\overrightarrow{x}' + \overrightarrow{y}\overrightarrow{y}'  d'ailleurs )
Eh oui, et non pas  \small\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = xy' + x'y   !

Tout ça, c'est des erreurs de calcul bêtes , alors que tu sembles bien maîtriser le sujet ...

PS : sur ce forum , LATEX admet la notation  \vec{AB}   \small\vec{AB} , c'est quand même plus pratique ...

Posté par
opheliiiere : Produit scalaire 1ère S 28-03-13 à 17:31

3a) ah mais mince ! j'avais inversé les écritures au lieu d'écrire (xJ-xI)² et (yJ-yI)² j'ai fait l'inverse c'est pour ça que je ne trouvais pas :s

3b) et 3c) olalala ! en effet des erreurs très très bêtes !!! je fais le calcul et je poste tout ça après la fin de mes cours !

Merci pour votre aide Pierre_D vraiment !

Posté par
opheliiiere : Produit scalaire 1ère S 28-03-13 à 18:12

Alors pour la 3b) je trouve donc que
\vec{IJ}.\vec{DK} = \frac{3}{5}
\vec{IJ}.\vec{DK} = IJ*LH \\ \\ LH = \frac{\vec{IJ}.\vec{DK}}{IJ} \\ \\ LH = \frac{15}{5\sqrt{29}}


Pour 3c) je trouve que :
{\vec{KJ}.\vec{KB}} = \frac{14}{25}
\vec{KJ}.\vec{KB} = KH*KB \\ \\ KH = \frac{\vec{KJ}.\vec{KB}}{KB} \\ \\ KH = \frac{14}{5\sqrt}{29}}

mais je ne vois pas comment calculer [tex]\vec{KJ}.\vec{KB} de deux façons ...

Posté par
opheliiiere : Produit scalaire 1ère S 28-03-13 à 18:30

Citation :
mais je ne vois pas comment calculer \vec{KJ}.\vec{KB} de deux façons ...


pardon c'est \vec{KJ}.\vec{KB}

Pour la 2b) vous m'avez écrit que :

\vec{JK}.\vec{JI} = |\vec{JI}|*|\vec{JK}|* cos(\vec{JK}.\vec{JI})

est-ce que on peut écrire que : \vec{JK}.\vec{JI} = ({-1};{-2/5})*({-2/5};{2/5})* cos(\frac{14}{25})
si oui, après comment je calcule les coordonnées toujours xx' * yy' ?

Posté par
opheliiiere : Produit scalaire 1ère S 28-03-13 à 21:45

voici la figure que vous verrez ci-dessous j'espère ne pas m'être trompée non plus pour l'expression de l'aire du trapèze en remplaçant avec les termes ...

Produit scalaire 1ère S

Posté par
opheliiiere : Produit scalaire 1ère S 28-03-13 à 22:02

Alors pour l'aire du trapèze je trouve 0,7 cm2 ce qui me parait assez petit :/

Posté par
Pierre_Dre : Produit scalaire 1ère S 28-03-13 à 22:45

Si le carré fait 1 cm², c'est beaucoup trop grand ! De toutes façons, c'est plutôt la valeur exacte qu'il faut donner.

Posté par
Pierre_Dre : Produit scalaire 1ère S 28-03-13 à 23:25

2b)  \small\vec{JK}.\vec{JI} = |\vec{JI}|*|\vec{JK}|* cos(\vec{JK},\vec{JI})  ; je ne vois pas bien ce qui t'arrête : tu sais calculer la norme (=longueur) d'un vecteur de coordonnées (x;y)  ?

3c) Tu as calculé  \small\vec{KJ}.\vec{KB}  de deux façons différentes : une comme produit scalaire des deux vecteurs, l'autre comme produit de deux mesures algébriques  \small\bar{KH}\text{  et  }\bar{KB}  , exactement comme pour 3b). Donc : pas de problème.

3d) Quelle valeur exacte trouves-tu pour l'aire du trapèze ?

Posté par
opheliiiere : Produit scalaire 1ère S 29-03-13 à 00:07

2.b) ah mais oui je me suis compliqué la vie pour rien du tout -_- alors je trouve donc que :
JI = \frac{\sqrt{29}}{5}
JK = \frac{\sqrt{8}}{5} et
\vec{JI}.\vec{JK} = \frac{6}{25}

en résultat j'obtiens \vec{JI}.\vec{JK} = \frac{\sqrt{29}}{5} * \frac{\sqrt{8}}{5} * cos(\frac{6}{25})

3.c) d'accord

3.d)pour le trapèze je trouve exactement 102/145 si c'est beaucoup trop grand peut-être que je me suis trompée dans mes valeurs (B + b) * h :S

Posté par
opheliiiere : Produit scalaire 1ère S 29-03-13 à 09:57

Est-ce correct ?

Posté par
Pierre_Dre : Produit scalaire 1ère S 29-03-13 à 17:10

2b) je ne vois pas bien ce que tu bricoles à la dernière ligne  ... * cos(\frac{6}{25})  ???  A revoir : c'est du cosinus de l'angle cherché qu'il s'agit, pas du cosinus du produit scalaire .
Aurais-tu interverti, dans l'expression du produit scalaire, le produit scalaire des deux vecteurs  \small\vec{JK}.\vec{JI}  avec l'angle des deux vecteurs  (\vec{JK},\vec{JI})  ?

Posté par
Pierre_Dre : Produit scalaire 1ère S 29-03-13 à 17:12

3d) Tu devrais revoir ta formule donnant l'aire du trapèze : tu as oublié de diviser par 2 la somme des bases !

Posté par
annesosoore : Produit scalaire 1ère S 20-04-15 à 11:26

Bonjour, j ai le même exercice à faire pour la rentrée et je vous remercie car j ai compris l exercice grâce a vous. Je voudrais juste savoir combien Opheliie a trouvé (ou même vous) à la question 2)b) pour voir si mon résultat est correct. Je vous remercie d'avance

Posté par
annesosoore : Produit scalaire 1ère S 20-04-15 à 12:28

Re-
Pour la 3)c): comment montres-tu que KB = KH × KB ?

Posté par
annesosoore : Produit scalaire 1ère S 20-04-15 à 12:29

Re- 
Pour la 3)c): comment montres-tu que vecKJ . vecKB = KH × KB ?


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