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surjectif et injectif


école ingénieursurjectif et injectif

#msg4848052#msg4848052 Posté le 16-10-13 à 12:16
Posté par Profiljounaid95 jounaid95

bonjour je ne sais pas quelle est la méthode pour montrer le caractère injectif et le caractère surjectif de la fonction (x,y)(x-y,x+y) , ²²
merci d'avance pour votre réponse
re : surjectif et injectif #msg4848069#msg4848069 Posté le 16-10-13 à 12:56
Posté par ProfilWunderBarbu WunderBarbu

Bonjour,

Pour l'injectivité prend X=(x,y), X'=(x',y') dans R² et montre que si f(X)=f(X') alors X=X'

Pour la surjectivité, prend un Y de R² et montre qu'il existe un X de R² tel que Y=f(X)
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re : surjectif et injectif #msg4848086#msg4848086 Posté le 16-10-13 à 13:21
Posté par Profiljounaid95 jounaid95

il faut donc montrer que (x-y,x+y)=(x'-y',x'+y') mais c'est bizarre car si f(x,y)=f(x',y') on aura forcément x,y=x',y' pour ce cas là.
re : surjectif et injectif #msg4848095#msg4848095 Posté le 16-10-13 à 13:28
Posté par ProfilWunderBarbu WunderBarbu

il faut montrer que si (x-y,x+y)=(x'-y',x'+y') alors (x,y)=(x',y')

si tu as cela alors la fonction est injective
re : surjectif et injectif #msg4848111#msg4848111 Posté le 16-10-13 à 13:39
Posté par Profiljounaid95 jounaid95

j'ai donc posé x'=m et y'=p
malheureusement je rencontre des difficultés pour résoudre (x-y,x+y)=(m-p,m+p)
re : surjectif et injectif #msg4848117#msg4848117 Posté le 16-10-13 à 13:41
Posté par ProfilWunderBarbu WunderBarbu

tu n'as pas besoin de faire ça

si x-y=x'-y'et x+y=x'+y'
en ajoutant les deux on trouve 2x = 2x' donc x=x' et donc y=y'
donc (x,y)=(x',y') donc on a l'injectivité
re : surjectif et injectif #msg4848169#msg4848169 Posté le 16-10-13 à 14:06
Posté par Profiljounaid95 jounaid95

merci pour cette explication à présent je rencontre des difficultés pour montrer le caractère surjectif de cette même fonction. je voudrais savoir quelle raisonnement est nécessaire pour aboutir cette conclusion sachant qu'on ne peut pas faire la dérivé et le tableau de variation car l'ensemble d'étude est un produit cartésien.
merci d'avance pour votre réponse
re : surjectif et injectif #msg4848175#msg4848175 Posté le 16-10-13 à 14:07
Posté par ProfilWunderBarbu WunderBarbu

pour (a,b) dans R²

il te faut résoudre le système d'inconnues x,y suivant :

x-y=a et x+y=b
re : surjectif et injectif #msg4848216#msg4848216 Posté le 16-10-13 à 14:22
Posté par Profiljounaid95 jounaid95

j'ai trouvé x=(a+b)/2 et y=(b-a)/2 que faut-il faire ensuite pour montrer la sujectivité.
re : surjectif et injectif #msg4848222#msg4848222 Posté le 16-10-13 à 14:24
Posté par Profiljounaid95 jounaid95

*surjectivité
re : surjectif et injectif #msg4848229#msg4848229 Posté le 16-10-13 à 14:26
Posté par ProfilWunderBarbu WunderBarbu

tu viens de le faire

pour chaque Y=(a,b) de R² tu as trouvé un X=(x,y) de R² tel que f(X)=Y
c'est la définition de la surjectivité
re : surjectif et injectif #msg4848230#msg4848230 Posté le 16-10-13 à 14:26
Posté par Profillafol lafol Moderateur

Bonjour

le simple fait d'avoir trouvé une solution montre que c'est surjectif

en fait tu as même montré directement que c'est bijectif, puisque tu as montré qu'il y a une unique solution ....
f bijective, ça veut exactement dire que pour tout (a,b), il existe un unique (x,y) tel que f(x,y) = (a,b)

tu l'as prouvé, tu as même explicité l'unique (x,y) : c'est ((a+b)/2, (b-a)/2)

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