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Etude d'une somme


maths supEtude d'une somme

#msg4883332#msg4883332 Posté le 01-11-13 à 10:30
Posté par Profilgclara gclara

Bonjour,cela peut paraître bizarre mais j'ai beaucoup de difficultés avec ce premier exercice de dm!
Je demande donc quelques petits indices pour me débloquer ..

Soit p /{0} L'objectif de l'exercice est d'étudier la limite lorsque n tend vers + de la somme:
Sn= de k=n à np sh(1/k)

1) a)Resoudre l'équation 2sh(x)+1=0 .On désignera par alpha l'unique solution.

b)Soit f la fonction définie sur  par: f(x)=ch(x)² +sh(x). Déterminer une expression simple de f(alpha)

c)Etudier les variations de f et en déduire que , pour tout x réel, f(x)est supérieur ou égal à 0

2) Soit g la fonction définie sur ]-1;1[ par g(x)=exp(sh(x))-x-1. Étudier les variations de g (on pourra,si besoin calculer la dérivée g'' de g)

3)Prouvez l'inégalité:x appartenant à [0;1[, 1+x ≤ exp(sh(x)) ≤ 1/(1-x)

4)En déduire que,pour n ≥ 2, on a:ln((pn+1)/n)≤ Sn ≤ -ln((n-1)/pn)

5)Calculer la limite de Sn en+

Merci de votre aide
re : Etude d'une somme #msg4884165#msg4884165 Posté le 01-11-13 à 14:51
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Bonjour

1)a) Nouvelle variable X=e^x

b) Je te rappelle que ch^2(x)-sh^2(x)=1
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re : Etude d'une somme #msg4886547#msg4886547 Posté le 02-11-13 à 08:49
Posté par Profiliciparisonzieme iciparisonzieme

1] a] Résolution de l'équation :

        2sh(x)+1=0 ⟺ ex - e-x +1 = 0 ⟺ (ex)2 + ex - 1 = 0

  On pose X = ex, on résout l'équation  X2 + X - 1 = 0. Cette équation possède deux solutions distinctes (√5 - 1)/2 et (-√5-1)/2 de signes contraires. Seule la solution strictement positive est à retenir :

      2sh(x)+1=0 ⟺ ex = (√5 - 1)/2 ⟺ x = ln [ (√5 - 1)/2 ]

b] Valeur de f(a)

  On sait que que 2sh(a)+1=0 donc sh(a) = -1/2

  Dès lors :

           f(a) = ch2(a) + sh(a) = 1 + sh2(a) + sh(a) = 1 + 1/4 - 1/2 = 3/4

c] Sens de variation de f

    f est dérivable sur IR. Pour tout x réel :

            f ' (x) = 2 sh(x) ch(x) + ch(x) = ch(x) [ 2 sh(x) + 1 ]

   Signe de f '(x) :

       ch(x) est strictement positif donc f '(x) a le même signe que 2 sh(x) + 1

             ∎ On a vu que 2 sh(x) + 1 = 0 ⟺ x = a

             ∎ sh est strictement croissante sur IR, on a donc :

                 2 sh(x) + 1 >0 ⟺ sh(x) > -1/2 ⟺ sh(x) > sh(a) ⟺ x > a

        On en déduit que :

               f '(x) s'annule en a
               f '(x) est strictement positive sur ]a ; + ∞[
               f '(x) est strictement négative sur ]-∞ ; a[

   Il en résulte que f est strictement décroissante sur  ]-∞ ; a]  et strictement croissante sur [a ; + ∞[

  Signe de f(x)

   D'après l'étude des variations de f, f possède un minimum qui vaut : f(a)= 3/4. Ce minimum étant strictement positif, on en déduit que f est une fonction strictement positive sur IR

Voilà pour le début !
re : Etude d'une somme #msg4889478#msg4889478 Posté le 02-11-13 à 20:13
Posté par Profilgclara gclara

Tout d'abord merci pour vos réponses , et désolé du retard de ma réponse (soucis d'ordinateur)

donc au début je ne comprenais pas pourquoi on posait X=exp(x)

mais en fait je viens de voir que j'avais le bon raisonnement
jusqu'à exp(x)-exp(-x) -1 =0

mais la je ne comprends pas comment on se retrouve avec un exp(x)² ?

Sinon encore merci à vous 2
je vais reprendre çà et essayer de faire la suite ce soir
re : Etude d'une somme #msg4890267#msg4890267 Posté le 02-11-13 à 23:37
Posté par Profiliciparisonzieme iciparisonzieme

J'ai multiplié les deux membres de l'équation par ex (qui est non nul).

         2sh(x)+1=0 ⟺ ex - e-x +1 = 0 ⟺ ex × ex - e-x × ex +1 × ex = 0 × ex

Puis :

         ex × ex = (ex)2

        e-x × ex = e-x+x = e0 = 1
re : Etude d'une somme #msg4890305#msg4890305 Posté le 03-11-13 à 00:02
Posté par Profilidm idm

heureusement que iciparisonzieme est là !! Que ferez l' sans lui ?? Une chose m'échappe: quel est ton intérêt à résoudre les exercices des internautes ? te rassurer sur le fait que t'es capable de les résoudre ?? Sache que tout le monde s'en fou !! essaye d'être plus subtile et pédagogue dans tes interventions...
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