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barycentre et produit scalaire

Posté par
diallo 15-11-13 à 00:23

                          Bonsoir
Voici un exercice qui me bloque pendant plusieur jour
Exo
Soit ABC un triangle et A', B' et C' les milieux des cote [BC],[CA] et [AB].On désigne par G le centre de gravite du triangle ABC .On se propose de répondre aux questions suivantes :
-A quelle condition les médianes (AA') et(BB') sont perpendiculaires.
-Quelle en en degres la mesure de l angle A si on suppose de plus ABC isocele.
1- a.Démontrer que AB^2+AC^2=9(GB^2+GC^2)-4BC^2
   b.En déduir que les droites (BB') et(CC') sont orthogonales si et seulement si
AB^2+AC^2=5BC^2
2-a.Démontrer que 9GB.GC=AB.AC-2BC^2
  b.En déduir que les droites (BB') et(CC') sont orthogonales si et seulement si
                                cos de l angle A= 2(AB^2+AC)/5AB.AC.
  C.On suppose que les droites (BB') et (CC') sont orthogonales et que ABC est isocele en A .
Montrer que cosA=4/5 .
4-Soit ABC un triangle isocele en A, de centre de gravite G.
Montrer que cosA=(5cosBGC +4)/(4cosBGC+5).
indication :AB=AC=b , BC=a .En appliquant la formule d Al-Kashi aux triangles ABC et  GBC ,en déduir que 9b^2(1-cosA)=(b^2+2a^2)(1-cosBGC).

remarque Toutes les distances sont considérés comme des vecteurs . Je n'ai pas mis les chapeaux sur les angles et j'ai utilisé des notations pour le carré et aussi pour diviser.Débloquer moi sur le premier et deuxieme question
MerCi de vouloir m'aider vous étes mon dernier espoir

Posté par
cailloux Correcteurre : barycentre et produit scalaire 15-11-13 à 10:14

Bonjour,

1)a) AB^2+AC^2=2AA'^2+\dfrac{BC^2}{2} (théorème de la médiane)

AB^2+AC^2=18GA'^2+\dfrac{BC^2}{2} (1) car AA'=3GA'

GB^2+GC^2=2GA'^2+\dfrac{BC^2}{2} (théorème de la médiane dans le triangle GBC)

donc 2GA'^2=GB^2+GC^2-\dfrac{BC^2}{2}

et 18GA'^2=9(GB^2+GC^2)-\dfrac{9\,BC^2}{2} que l' on reporte dans (1) pour obtenir:

AB^2+AC^2=9(GB^2+GC^2)-4BC^2

C' est un début...

Posté par
geo3re : barycentre et produit scalaire 15-11-13 à 10:33

Bonjour
1a)démontrons que 9(GB^2+GC^2)-4BC^2 = AB^2+AC^2

9(GB^2+GC^2)-4BC^2  = 9[ (2B'B/3)² + (2C'C/3)² ] - 4BC² =
4(B'B²+C'C²-BC²)= (BA+BC)² + (CA+CB)² - 4BC²
car BA+BC = 2BB' ( demi diagonale) et de même CA+CB =2CC'
=>
= BA²+BC²+2BA.BC+CA²+CB²+2CA.CB - 4BC²
= AB² + AC² + 2(BA-CA)BC - 2BC²
=AB² + AC²+ 2BC² -2BC²
=AB² +AC²
1b)GB perp à GC  ssi GB²+GC² = BC²  donc ...
Voilà pour commencer
A

Posté par
cailloux Correcteurre : barycentre et produit scalaire 15-11-13 à 11:07

1)b) (BB')\perp (CC')\Longleftrightarrow GB^2+GC^2=BC^2

En reportant dans l' égalité du 1), on obtient:

(BB')\perp (CC')\Longleftirghtarrow AB^2+AC^2=5\,BC^2

2)a) \vec{AB}.\vec{AC}=AA'^2-\dfrac{BC^2}{4}

On en déduit: AA'^2=\vec{AB}.\vec{AC}+\dfrac{BC^2}{4}

\vec{GB}.\vec{GC}=GA'^2-\dfrac{BC^2}{4} avec GA'=\dfrac{1}{3}\,AA'

donc \vec{GB}.\vec{GC}=\dfrac{1}{9}\,AA'^2-\dfrac{BC^2}{4}

et 9\,\vec{GB}.\vec{GC}=AA'^2-\dfrac{9\,BC^2}{4}=\vec{AB}.\vec{AC}-2BC^2

2)b) (GA)\perp (GB)\Longleftrightarrow \vec{AB}.\vec{AC}=2\,BC^2

(GA)\perp (GB)\Longleftrightarrow AB.AC\,\cos\,\widehat{A}=\dfrac{2}{5}\,(AB^2+AC^2

(GA)\perp (GB)\Longleftrightarrow \cos\,\widehat{A}=\dfrac{2(AB^2+AC^2)}{5\,AB.AC}

2)c) On a donc AB=AC qui donne \cos\,\widehat{A}=\dfrac{4}{5}

Posté par
diallore : barycentre et produit scalaire 15-11-13 à 17:13

bonjour
Vraiment je n'ai pas les mots pour vous remercier Merci énormément de m'avoir aider à vous tous .Que Dieu vous bénisse.

Posté par
diallore : barycentre et produit scalaire 16-11-13 à 02:10

vos démonstrations sont inpécables.J'ai envis d'achever cette exercice mais je suis stopé au quatriéme question.Merci de m'aider à terminer cette exercice.

Posté par
cailloux Correcteurre : barycentre et produit scalaire 16-11-13 à 10:45

3) \cos\,\widehat{A}=2\,\cos^2\,\widehat{\frac{A}{2}}-1= 2\,\dfrac{AA'^2}{AB^2}-1

\cos\,\widehat{A}=\dfrac{18\,GA'^2}{AB^2}-1 (1)

Dans le triangle BGA avec Al Kaschi:

BG^2=AB^2+\underbrace{AG^2}_{4GA'^2}-2\,\underbrace{AG}_{2\,GA'}.\underbrace{AB\,\cos\,\widehat{\frac{A}{2}}}_{AA'=3\,GA'}

BG^2=AB^2-8\,GA'^2

On en déduit: AB^2=8\,GA'^2+BG^2 que l' on reporte dans (1):

\cos\,\widehat{A}=\dfrac{18\,GA'^2}{8\,GA'^2+BG^2}-1=\dfrac{10\,GA'^2-BG^2}{8\,GA'^2+BG^2}

\cos\,\widehat{A}=\dfrac{10\,\frac{GA'^2}{BG^2}-1}{8\,\frac{GA'^2}{BG^2}+1}=\dfrac{10\,\cos^2\widehat{\frac{BGC}{2}}-1}{8\,\cos^2\widehat{\frac{BGC}{2}}+1}

\cos\,\widehat{A}=\dfrac{5(1+\cos\,\widehat{BGC})-1}{4(1+\cos\,\widehat{BGC})+1}

\cos\,\widehat{A}=\dfrac{5\,\cos\,\widehat{BGC}+4}{4\,\cos\,\widehat{BGC}+5}

Il y a probablement une solution plus propre...

Posté par
cailloux Correcteurre : barycentre et produit scalaire 16-11-13 à 11:04

En suivant l' indication donnée, c' est à dire en utilisant Al Kashi dans les triangles ABC et GBC, on peut exprimer BC^2 de deux manières différentes:

BC^2=2b^2(1-\cos\,\widehat{A})=2\,BG^2(1-\cos\,\widehat{BGC})

donc b^2(1-\cos\,\widehat{A})=BG^2(1-\cos\,\widehat{BGC}) (1)

Or on sait que, (voir au dessus), BG^2=AB^2-8\,GA'^2

BG^2=AB^2-\dfrac{8}{9}\,AA'^2=AB^2-\dfrac{8}{9}\,(AB^2-BA'^2)

BG^2=AB^2-\dfrac{8}{9}\,\left(AB^2-\dfrac{BC^2}{4}\right)

BG^2=\dfrac{AB^2+2\,BC^2}{9}=\dfrac{b^2+2a^2}{9} que l' on reporte dans (1):

9b^2(1-\cos\,\widehat{A})=(b^2+2a^2)(1-\cos\,\widehat{BGC})

Posté par
geo3re : barycentre et produit scalaire 16-11-13 à 19:10

Bonsoir
Bravo à Cailloux pour ces brillantes et succintes démonstrations
J'ai du mal de croire qu'un prof. aurait donné un tel  énoncé à un élève de 1ère
A+

Posté par
kassa96re : barycentre et produit scalaire 22-11-13 à 15:13

bonjour
toutes vos demonstrations sont geniales.Merci a Cailloux pour avoir consacre son temps pour cette exercice et ainsi a tous.Que Dieu vous benisse

Posté par
RangerBre : barycentre et produit scalaire 15-04-15 à 19:35

Bonsoir à tous pour celui qui verra mon message peut-il m'expliquer comment démontrer la question 4:
La méthode que cailloux a utilisé pour le faire je ne l'ai pas bien saisi je pense meme que c'est du au faite que j'ai pas encore fait le cours sur les angles.
Pour ce qui est de l'indication je me retrouve un peu, je l'ai meme démontrer mais je ne sais pas comment je dois l'utiliser pour démontrer que: cosA=(5cosBGC +4)/(4cosBGC+5).
PS: Je suis en classe de Seconde.   MERCI D'AVANCE

Posté par
RangerBre : barycentre et produit scalaire 16-04-15 à 19:28

SVP??????

Posté par
Priamre : barycentre et produit scalaire 16-04-15 à 21:58

C'est de la démonstration de  cailloux  dans son message de 10h45 que tu parles ? Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?

Posté par
RangerBre : barycentre et produit scalaire 16-04-15 à 23:40

Bonsoir Priam en faite c'est la proprièté qu'il a utilisé pour trouver une relation entre le cosinus de A et sa moitié qui me pose problème.
J'aimerai maintenant une autre méthode c'est à dire en se servant directement de l'indication donné.

Posté par
Priamre : barycentre et produit scalaire 17-04-15 à 09:45

cos  = 2cos² Â/2 - 1 .
Cette égalité découle directement de la formule bien connue
cos(2a) = 2cos²a - 1
qui découle elle même de la formule (également bien connue)
cos(2a) = cos² a - sin²a .
Quant au calcul " suivant l'indication donnée ", il me semble que c'est celui qu'a fait  cailloux  à 11h04.

Posté par
RangerBre : barycentre et produit scalaire 17-04-15 à 14:54

OK merci beaucoup, j'ai compris maintenant.


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