Niveau maths spé

Fubini

Posté par
numero10 17-04-14 à 22:32

Bonjour,

Je cherche à prouver un Lemme tout simple à l'aide de Fubini:

$\gamma$ désigne la mesure de probabilité gaussienne standard.

Lemme: Soit $f \in \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction absolument continue telle que $f' \in L^1(\gamma)$

Alors x $xf(x) \in \L^1(\gamma)$ et
$\int_{\mathbb{R}} xf(x)d\gamma(x)=\int_{\mathbb{R}}f'(x)d\gamma(x)$

Bon, je n'utilise pas d'IPPs pour prouver ce lemme. Et je me pose une question seulement sur la deuxième partie du lemme:
$\\ \int_{\mathbb{R}} xf(x)d\gamma(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}} xf(x)e^{\frac{-x^2}{2}}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^0 \int_x^0 f'(y)dy (-x)e^{\frac{-x^2}{2}}dx+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{+\infty}_0 \int_0^x f'(y)dy xe^{\frac{-x^2}{2}}dx$

De là, je n'arrive pas à me convaincre du résultat en utilisant Fubini, si quelqu'un peut me faire une pointe de rappel, je serai ravi.

Merci d'avance.

Posté par re : Fubini 19-04-14 à 02:25

Bonsoir,

Tout d'abord, tu noteras qu'il suffit de montrer le résultat pour une fonction absolument continue f vérifiant f(0)=0, de sorte que l'on puisse écrire $f(x)=\int_0^xf(y)dy$ et quitte à faire, on peut oublier la constante dans la fonction $\gamma$ (ce que je ferai pour alléger les choses), elle ne joue aucun rôle dans les égalités d'intégrale.

Ensuite, on peut effectivement découper le travail en deux afin de ne pas se heurter au problème de signes et des intervalles allant dans le bon sens.

Posons $g_1(x,y)=x\gamma(x)f'(y)1_{\R_+\times [0,x]}(x,y)$ et $g_2(x,y)=x\gamma(x)f'(-y)1_{\R_+\times [0,x]}(x,y)$ .

Tu pourras remarquer que $1_{\R_+\times [0,x]}(x,y)=1_{\R_+}(y)\times 1_{[y,+\infty[}(x)$ lorsque y est fixé.

On va montrer que $g_1,g_2\in L^1(\R^2)$ . Pour cela, on peut appliquer le théorème de Fubini-Tonelli aux fonctions positives $|g_1|, |g_2|$ , ce qui donne en utilisant la parité de $\gamma$ :

$\begin{array}{rl} \\ \int_{\R^2}|g_1(x,y)|dxdy & = \int_{\R} \left(\int_\R |x|\gamma(x)|f'(y)|1_{\R_+\times [0,x]}(x,y) dx\right)dy \\ \\ & = \int_{\R} \left(\int_\R |x|\gamma(x)|f'(y)|1_{[y,+\infty[}(x)\times 1_{\R_+}(y)dx\right)dy \\ \\ & = \int_{0}^{+\infty} |f'(y)|\left(\int_y^{+\infty} x\gamma(x)dx\right)dy \\ \\ & = \int_{0}^{+\infty} |f'(y)|\gamma(y)dy < \int_\R |f'|d\gamma<+\infty \\ \end{array}$

et

$\begin{array}{rl} \\ \int_{\R^2}|g_2(x,y)|dxdy & = \int_{\R} \left(\int_\R |x|\gamma(x)|f'(-y)|1_{\R_+\times [0,x]}(x,y) dx\right)dy \\ \\ & = \int_{\R} \left(\int_\R |x|\gamma(x)|f'(-y)|1_{[y,+\infty[}(x)\times 1_{\R_+}(y)dx\right)dy \\ \\ & = \int_{0}^{+\infty} |f'(-y)|\left(\int_y^{+\infty} x\gamma(x)dx\right)dy \\ \\ & = \int_{0}^{+\infty} |f'(-y)|\gamma(y)dy \\ \\ & = \int_{-\infty}^0|f'(y)|\gamma(y)dy < \int_{\R} |f'|d\gamma < +\infty \\ \end{array}$

Cela justifie à présent que $g_1,g_2$ sont intégrables et que l'on peut directement leur appliquer le théorème de Fubini i.e. intégrer dans l'ordre que l'on souhaite.

Si on décide d'intégrer par rapport à x puis par rapport à y, cela revient à reprendre le calcul que j'ai écrit juste en haut en retirant les valeurs absolues.
Ainsi nous avons d'un coté :
$\int_{\R^2}g_1(x,y)dxdy+\int_{\R^2}g_2(x,y)dxdy=\int_{\R} f'(y)d\gamma(y)$ .

D'un autre coté, si on décide d'intégrer par rapport à y puis par rapport à x, il vient :
$\int_{\R^2}g_1(x,y)dxdy = \int_{0}^{+\infty} xf(x)d\gamma(x)$ et $\int_{\R^2}g_2(x,y)dxdy = \int_{-\infty}^{0} xf(x)d\gamma(x)$ ce qui donne:
$\int_\R xf(x)d\gamma(x)=\int_{\R^2}g_1(x,y)+g_2(x,y)dxdy$ .

Tu retrouves alors ton égalité.

Posté par re : Fubini 19-04-14 à 23:42

Bonsoir,

Merci beaucoup, oui tout est très clair et très bien rédigé, j'avais mal géré mes indicatrices.

Posté par re : Fubini 22-04-14 à 10:23

De rien : )

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