salut

il suffit d'étudier le sens de variation de f o f ...

Tu fais une récurrence pour les termes pairs
0 < u ₂ donc u ₂ < u ₀
Supposons que 0 < u _{2 (n + 1)} < u _{2 n}
Montrons l'hérédité :
f est une fonction décroissante sur [0 ; + [ donc
f(u _{2 (n + 1)}) > f(u _{2 n}) > f(0) > 0
donc u _{2 (n + 1) + 1}) > u _{2 n + 1}) > 0
f est une fonction décroissante, positive sur [0 ; + [ donc
0 < f(u _{2 (n + 1) + 1}) < f(u _{2 n + 1}) donc 0 < u _{2 (n + 1) + 2} < u _{2 n + 2}
soit 0 < u _{2 (n + 2)} < u _{2 (n + 1)} donc la suite (u _{2 n}) est décroissante.

Pour tout entier n : 0 < u _{2 (n + 1)} < u _{2 n} or f est une fonction décroissante sur [0 ; + [ donc
f(u _{2 (n + 1)}) > f(u _{2 n} ) donc u _{2 (n + 1) + 1} > u _{2 n + 1}
La suite des termes impairs est croissante.
Vérifie mes indices car j'ai fait beaucoup de copier-coller.

9a serait pas plus simple de calculer U_2n et d'étudier son signe?c'est ce  que je voulais faire mais je bloque.

ça serait pas plus simple de calculer U_2n et d'étudier son signe?c'est ce  que je voulais faire mais je bloque.

il faut étudier le signe de f o f(x) - x ...

daccord.

et les deux termes initiaux u0 = 2 et u1 = 2/3 ....

Oui.

alors au boulot ....

J'ai fait comme tu m'a dit: c'est f(x)°(f(x)-x)
alors ça donne: f(x)°(f(x)-x)=((2/(1+2/1+x))-(2/1+x)
                                          =(2(1+x)/3+x)-(2/1+x)
                                          =(2(1+x)²-2(3+x))/(3+x)(1+x)
                                          =(2x²-6x-4)/(3+x)(1+x)
Le résultat est positif. Mais je ne vois pas pourquoi tu ma dit de faire f°(f(x)-x), pourquoi le -x? et je n'arrive pas a l'associer avec u2n ou est le lien?

donc



et



....

le résultat est positif ... ça m'étonnerait et c'est contradictoire avec le post de Cherchell

posons g(x) = f o f(x) - x

g(2) = ...?
g(2/3) = ... ?
g(6/5) = ... ?


factorise le numérateur ....

Dernière tentative je fait puis si jarrive pas jabondonne ça m'énerve c'est dur.

g(2)=-4÷5, g(2÷3)=8÷33 et g(6÷5)=-16÷105. Et je vois pas ou ça me mene?bon je vais essayer de calculer g(x).

Je trouve g(x)= (-x^2-x+2)÷(3+x) en effet c'est négatif.mais je n'ai toujours pas compris pourquoi nous calculons Un+2-Un nous on cherche U2n non?

Bonjour,


Juste une question:
l'itération de fonctions homographiques est un problème résolu,
n'est elle pas enseignée?

Ici ,deux points fixes ,nous avons la relation:
  et



...


Alain

oui bon ... inutile de polluer avec des formules sans intérêt si on ne comprend pas la base ....

g(x) = 2(x - 2)/(x +3)

g(2) = 0 donc ne permet pas de conclure ....

mais 2, 2/3 et 6/5 sont les trois premiers termes de la suite (u_n) ....

et g(x) < 0 si x < 2 et g(x) > 0 si x > 2

ce qui permet de déterminer le sens de variation des suites (u_2n) et (u_2n+1) ....

il suffit alors de regarder le ou les deux premiers termes de ces deux sous-suites .... ainsi que g([0, 2]) et g([2, +oo[) ....

Très bon après-midi,


Les relations dont je parlais ne tombent pas exactement du ciel,
ce sont des expressions conjuguées simples,liées aux nombres des
points fixes et à leur valeur;les termes U_2n et U_2n+1
sont assez facilement calculables en fonction de n et permettent la prise en compte la
valeur initiale u₀=2 .


L'énoncé tel qu'il était présenté n'imposait pas une voie particulière
de résolution.



Alain

certes oui ... mais bon ....

lorsqu'on pose une telles question c'est qu'on est loin de ta théorie ....

Well,


Nous pouvons peut-être considérer le niveau
de l'intervenant ,rubrique "Licence" ,
et penser que certains trouvent un intérêt dans le
développement d'un thème...


"Ma théorie"



Alain

je sais tu as déjà fait un post sur le sujet (que j'ai mis dans mes favoris) mais bon ....