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Différentielle d'une fonction implicite ?

Posté par
Welss05 29-07-14 à 01:17

Salutation ! (Eh oui, encore moi et mes différentielles)

Cette fois j'ai un soucis avec la différentielles d'une fonction implicite !

Je dois calculer la diff' de \frac{ \frac{ \partial F }{ \partial x} }{ \frac{ \partial F }{\partial y}}

Par contre je n'ai aucune idée de commencer procédé ! J'ai pensé à faire la différentielle comme s'il s'agissait de la dérivée d'une division, mais visiblement je n'ai pas le bon résultat.

Une idée pour commencer s'il vous plait ?

Posté par
Watarure : Différentielle d'une fonction implicite ? 29-07-14 à 01:33

Salut,

En partant de la définition de la différentielle df = pdx + qdy (p étant la dérivée partielle par rapport à x et q la dérivée partielle par rapport à y) on devrait pouvoir trouver assez facilement la réponse ^^

Posté par
Welss05re : Différentielle d'une fonction implicite ? 29-07-14 à 02:29

Un petit exemple s'il vous plait ? Car je ne vois vraiment pas ce que vous voulez dire

Posté par
Watarure : Différentielle d'une fonction implicite ? 29-07-14 à 04:06

Bah la différentielle de f(x,y) = x² + 2y c'est df(x,y) = 2xdx + 2dy...

Posté par
Welss05Différentielle implicite : Démonstration ? 29-07-14 à 06:22

Salutation ! (Je refais un nouveau topic pour plus de clarté)

La consigne :

Citation :
Soit F(x,y) = 0 et y(x). Montrer les formules suivantes.

A) \frac{dy}{dx} = - \frac{F'x}{F'y}

B) \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = - \frac{1}{(F'y)^3} \left [ \frac{\partial ^2 F}{\partial x^2} \left ( \frac{\partial F}{\partial y} \right )^2 -2 \frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial ^2F}{\partial x \partial y} + \frac{\partial ^2 F} {\partial y^2}\left( \frac{\partial F}{\partial x} \right )^2 \right ]


Quelqu'un pourrait-t-il m'expliquer la marche à suivre s'il vous plait ? En détail si possible, les maths et moi ça fait 2 (Voir 3!)
Bizarrement, je sais démontrer une égalité lorsque la fonction est du genre : f(x,y) = 3x^2 + 9/y, mais pas quand elle est présenté de cette manière (implicitement) !
Je vous écoute !

Posté par
lafol Moderateurre : Différentielle d'une fonction implicite ? 29-07-14 à 12:44

Bonjour
tu pars de F(x,y) = 0, et tu différencies :

F'_xdx + F'_ydy = 0 \\ \\ F'_ydy = - F'_xdx \\ \\ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-F'_x}{F'_y}

maintenant tu veux dériver ça par rapport à x : c'est un quotient, et il faut utiliser la règle de la chaîne pour dériver F'_x et F'_y qui sont fonctions de x et de y par rapport à y

Posté par
Robotre : Différentielle d'une fonction implicite ? 29-07-14 à 12:47

Posons g(x)=F(x,y(x)). Peux tu calculer la dérivée de g ?
Si y(x) est tel que g(x) est constamment nul, alors g'(x)=0.

Posté par
Tonmre : Différentielle d'une fonction implicite ? 29-07-14 à 12:49

Lafol

Posté par
Welss05re : Différentielle d'une fonction implicite ? 30-07-14 à 01:47

Zut ! Je commence à croire que je suis vraiment bête ... Je ne suis même pas capable de commencer !

Posté par
Razesre : Différentielle d'une fonction implicite ? 30-07-14 à 03:46

Nous avons;  d\left ( \frac{ \frac{ \partial F }{ \partial x} }{ \frac{ \partial F }{\partial y}} \right )=\frac{\partial }{\partial x}\left ( \frac{ \frac{ \partial F }{ \partial x} }{ \frac{ \partial F }{\partial y}} \right )dx +\frac{\partial }{\partial y}\left ( \frac{ \frac{ \partial F }{ \partial x} }{ \frac{ \partial F }{\partial y}} \right )dy

d\left ( \frac{ \frac{ \partial F }{ \partial x} }{ \frac{ \partial F }{\partial y}}\right )= \frac{\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}}{\left ( \frac{\partial F}{\partial y} \right )^2}dx+\frac{\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}}{\left ( \frac{\partial F}{\partial y} \right )^2}dy=\frac{1}{\left ( \frac{\partial F}{\partial y} \right )^2} \left (\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}\frac{\partial F}{\partial y}dx-\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}dx- \frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}\frac{\partial F}{\partial y}dy+\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}dy \right )

Posté par
Welss05re : Différentielle d'une fonction implicite ? 30-07-14 à 04:29

J'ai procédé de la même manière avant de me rendre compte que ça ne servait à rien !
La réponse n'est pas totalement exacte, 2 membres devait pouvoir s'additionner pour former -2 \frac{\partial F}{\partial x \partial y} \frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial y}

Pour ceci, il fallait multiplié le terme de dx par \frac{\partial F}{\partial y} au dénominateur et au numérateur.

Pareil pour le terme de dy, par \frac{\partial F}{\partial x} au dénominateur et au numérateur.

Mais de cette manière toute la fonction change ... Voilà ce qui me bloque vraiment

Posté par
Robotre : Différentielle d'une fonction implicite ? 30-07-14 à 12:31

Peux-tu calculer la dérivée de -\dfrac{F'_x(x,y(x))}{F'_y(x,y(x))} par rapport à x ?

Posté par
Razesre : Différentielle d'une fonction implicite ? 30-07-14 à 13:09

Oups, j'ai oublié que la fonction est implicite. \forall (x,y) \quad f(x,y)=0 \,\Leftrightarrow\, y=\psi(x)

donc df=0, d'ou \frac{ \frac{ \partial F }{ \partial x} }{ \frac{ \partial F }{\partial y}}=-\frac {\mathrm d\psi(x)}{\mathrm dx}

Posté par
lafol Moderateurre : Différentielle d'une fonction implicite ? 30-07-14 à 14:37

Je me rends compte que le 29-07-14 à 12:44, la toute dernière lettre que j'ai tapée aurait dû être un x et pas un y
sans cette étourderie, c'était exactement ce que te demande Robot ...
mes excuses pour ce lapsus qui n'a pas dû t'aider

Posté par
Welss05re : Différentielle d'une fonction implicite ? 31-07-14 à 03:57

Finalement je laisse tomber, je n'ai visiblement pas le niveau ! J'ai beau faire la diff' en fonction de x, de y, de x et y, etc ... Je n'y arrive pas ! Est ce qu'une âme généreuse aurait la gentillesse de me faire la démonstration complète s'il vous plait ? D'autre démo de ce genre apparaissent dans le bouquin, en espérant que celle ci m'aidera a comprendre les autres !
Donc je vous écoute !
Merci !

Posté par
Robotre : Différentielle d'une fonction implicite ? 31-07-14 à 08:03

La dérivée de \dfrac{u}{v} est \dfrac{u'v-uv'}{v^2}. Appliquons ça à h(x)=-\dfrac{F'_x(x,y(x))}{F'_y(x,y(x))}.
D'abord la dérivée de F'_x(x,y(x)) : c'est F''_{xx}(x,y(x))+F''_{xy}(x,y(x))\,y'(x). Puis la dérivée de F'_y(x,y(x)) : c'est F''_{yx}(x,y(x))+F''_{yy}(x,y(x))\,y'(x). En mettant ça dans la dérivée du quotient on obtient :
h'(x)=-\dfrac{\big(F''_{xx}(x,y(x))+F''_{xy}(x,y(x))\,y'(x)\big)F'_y(x,y(x))-F'_x(x,y(x)) \big(F''_{yx}(x,y(x))+F''_{yy}(x,y(x))\,y'(x)\big)}{F'_y(x,y(x))^2}\;.
Il ne reste plus qu'à remplacer y'(x) par -\dfrac{F'_x(x,y(x))}{F'_y(x,y(x))}, à se souvenir que F''_{xy}=F''_{yx}, et à simplifier tout ça.

Posté par
Welss05re : Différentielle d'une fonction implicite ? 06-08-14 à 19:53

J'ai su refaire la démo seul, je pense avoir compris la démarche.
Merci @Robot !


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