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questions sur les séries

Posté par
flynno 27-08-14 à 09:35

Bonjour,

j'ai une série à utiliser mais je ne vois pas comment la transformer .. il faut répondre et justifier par vrai ou faux pour chacune des propositions :

Soit Un=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}

a) Un \sim 2{\sqrt{n}} quand n tend vers +\infty
b)Un \sim \frac{2}{\sqrt{n}} quand n tend vers +\infty
c)la suite (Un) converge
d) la serie ΣUn diverge

j'ai pensé à transformer Un en la somme des k^(-1/2)mais je ne sais pas si c'est un bon début..

merci d'avance de votre aide!

Posté par
Narhmre : questions sur les séries 27-08-14 à 10:27

Bonjour,

Déjà pour répondre aux questions c) et d), il suffit de montrer que l'une des questions a) ou b) est vraie (l'autre étant automatiquement fausse). Cherchons donc un équivalent de ta suite.

Si tu traces le graphe de la fonction f:t\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{t}} sur ]0,+\infty[, tu peux essayer de comparer l'aire sous la courbe de cette fonction sur un bon segment avec le terme u_n. La somme u_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{\sqrt{k}}=\sum_{k=1}^n f(k) s'interprète facilement comme une somme d'aire de rectangle bien choisi.

Posté par
delta-Bre : questions sur les séries 27-08-14 à 10:36

Bonjour.
La suite (U_n) est la suite des  sommes partielles  à la série \sum_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} qui est une  série de Riemman .........,  les réponses à b), c) et d) sont alors faciles
Pour a) je n'ai aucune idée

Posté par
delta-Bre : questions sur les séries 27-08-14 à 10:57

La suite (U_n) est la suite des  sommes partielles  associée à la série \sum_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}......
Je n'avais lu pas le message de Narhm.
Pour a) utilises l'idée de Narhm.
Remarque:  \dfrac{1}{k+1}\le \int_k^{k+1} \dfrac{dt}{\sqrt{t}} \le \dfrac{1}{k}

Posté par
flynnore : questions sur les séries 27-08-14 à 11:12

merci à tous pour vos réponses !
Alors en considérant la serie de Riemann je trouve qu'elle diverge car 1/2 < 1 .
donc comme la serie diverge , (Un) diverge aussi?

d'autre part on a l'integrale de 1/{\sqrt{x}} qui est 2{\sqrt{x}} mais est-ce que cela implique l'equivalence ?

Posté par
delta-Bre : questions sur les séries 27-08-14 à 13:20

Citation :
..... donc comme la serie diverge , (Un) diverge aussi?

Citation :
La suite (U_n) est la suite des  sommes partielles  associée à la série \sum_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}......

C'est quoi la définition d'une série convergente et d'une série divergente.

Posté par
flynnore : questions sur les séries 27-08-14 à 14:45

Selon moi, une serie converge si sa somme partielle converge et diverge si sa somme partielle diverge. et ici la serie diverge car c'est une serie de riemann avec comme exposant 1/2 qui est inferieur a 1 . Si on avait 1/n^2 par exemple elle convergerait car 2>1

Posté par
arnaudmagnolre : questions sur les séries 27-08-14 à 14:53

La divergence de la série n'implique pas la divergence de la suite !
La série des 1/n diverge, pourtant la suite associée converge vers 0 !

Posté par
athrunre : questions sur les séries 27-08-14 à 16:01

@ arnaudmagnol : tu es hors-sujet là ; tu confonds terme général d'une série et sa somme partielle. flynno a raison dans son dernier message, comme la série \sum_{n\geqslant1}n^{-1/2} diverge, alors la suite de ses sommes partielles, ie \left(\sum_{k=1}^nk^{-1/2}\right)=(U_n) diverge aussi.

Pour répondre à la d), on peut invoquer le fait que la suite (U_n) ne tende pas vers 0 (théorème de la limite monotone ou alors éventuellement utiliser l'équivalent obtenu précédemment).

Posté par
flynnore : questions sur les séries 28-08-14 à 09:13

merci à vous 2, mais pour l'equivalent je ne comprends pas pourquoi c'est equivalent à la primitive de 1/{\sqrt{x}} ?

Posté par
delta-Bre : questions sur les séries 28-08-14 à 09:44

Bonjour.
Essaies d'encadrer U_n par 2 intégrales de la forme \int_1^p \frac{dt}{\sqrt{t}}

Posté par
flynnore : questions sur les séries 28-08-14 à 11:13

en utilisant le theoreme de comparaison serie-integrale, j'obtiens :
\sum_{k=1}^n 1/{\sqrt{k}} >= \int_0^n\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2{\sqrt{n}} ?

Posté par
athrunre : questions sur les séries 28-08-14 à 11:40

flynno : non c'est faux, tu appliques mal la comparaison série-intégrale. Reprends clairement comme ceci :

Soient k\in\mathbb{N}^* et x\in[k,k+1], on a :

\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\leqslant\dfrac{1}{\sqrt{x}}\leqslant\dfrac{1}{\sqrt{k}}.

On intègre cette inégalité sur [k,k+1] :

\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\leqslant\int_k^{k+1}\dfrac{1}{\sqrt{x}} \, \mathrm{d}x\leqslant\dfrac{1}{\sqrt{k}}.

Cela nous permet de déduire :

\int_k^{k+1}\dfrac{1}{\sqrt{x}} \, \mathrm{d}x\leqslant\dfrac{1}{\sqrt{k}}\leqslant\int_{k-1}^k\dfrac{1}{\sqrt{x}} \, \mathrm{d}x

Puis on somme pour k allant de 1 à n :

\int_1^{n+1}\dfrac{1}{\sqrt{x}} \, \mathrm{d}x\leqslant U_n\leqslant\int_0^n\dfrac{1}{\sqrt{x}} \, \mathrm{d}x.

Je te laisse conclure.

Posté par
flynnore : questions sur les séries 28-08-14 à 12:53

Merci beaucoup!

J'ai donc 2{\sqrt{n+1}}-2 \leqslant Un \leqslant 2{\sqrt{n}}

mais selon moi pour montrer que Un est equivalent à 2{\sqrt{n}} il faudrait que la limite du quotient tende vers 1 non ?
ici est ce que le fait que Un soit inferieur ou égal a 2{\sqrt{n}} montre que c'est équivalent ?

Posté par
Narhmre : questions sur les séries 28-08-14 à 13:16

Citation :
ici est ce que le fait que Un soit inferieur ou égal a 2{\sqrt{n}} montre que c'est équivalent ?

Non et tu dis toi même ce qu'il faut vérifier i.e. que \dfrac{U_n}{2\sqrt{n}}\rightarrow 1 donc autant le faire sans être tenter de prendre de raccourci.
De ton égalité, tu obtiens:  \dfrac{2\sqrt{n+1}-2}{2\sqrt{n}}\leq \dfrac{U_n}{2\sqrt{n}} \leq 1. Conclus.

Posté par
flynnore : questions sur les séries 28-08-14 à 16:27

merci beaucoup !
theoreme des gendarmes (ou d'encadrement) mais je trouve une forme indeterminée et n'arrive pas à montrer que la limite est 1 pour le membre de gauche..

Posté par
athrunre : questions sur les séries 28-08-14 à 16:47

C'est pourtant classique : écrire que \sqrt{n+1}=\sqrt{n}\sqrt{1+1/n}.

Posté par
flynnore : questions sur les séries 28-08-14 à 16:56

mais oui !! merci beaucoup !!!

Posté par
athrunre : questions sur les séries 28-08-14 à 17:44


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