ton lien semble ne pas marcher.
Et puis sur ce site, il faut recopier son énoncé si on veut de l'aide.

Salut, je pensais être plus clair avec un lien http://pomux.free.fr/corriges-1992/pdf/m92nc2ea.pdf (celui-là va marcher). Mais je peux retaper la question, elle fait suite à un problème sur une étude de suite récurrente :
2.e. En déduire la nature de la série tn = v(n) − 1/n.
Voili voilou

désolé, j'avais mal compris le système

Visiblement, tu n'as toujours pas compris le système : ici, on écrit en clair sa question, avec toutes les informations nécessaires !

Très bien, alors : 1 .Soit la suite récurrente définie par u0 et (∀n ∈ N) u(n+1) = u(n) + u(n)².
Etudier sa convergence suivant les valeurs de u0 et préciser sa limite.
Ca c'est ok.
2.a. On suppose que la suite converge mais n'est pas stationnaire et on pose v(n) = −u(n) ; quelle relation
de récurrence vérifie v(n) ? Montrer que v(n) est équivalent à vn+1.
Ok aussi.
2.b. On pose a(n) = 1/v(n) - 1 /v(n-1) montrer que (an) converge et en déduire un équivalent de v(n).
Ok, v(n) tend vers 1 et v(n) équivalent à 1/n.
2.c. Quelle est la nature des séries de termes généraux v(n), sin (v²(n)), v(n)/sqrt(n) ?
Dans l'ordre, diverge, diverge, converge.
2.d. Soit b(n) = a(n) − 1. Montrer que bn tend vers zéro et en trouver un équivalent.
Ok pour la limite, équivalent je trouve 1/n.
2.e. En déduire la nature de la série tn = v(n) − 1/n.
Là je bloque, tous ce que je retrouve c'est que v(n) équivalent à 1/n ...

2.b : Vn tend vers 1 et est équivalent à 1/n ?

Pour la 2.c avec le sinus je suis allé peut être un peu vite, mais avec un developpement limité j'obtiens facilement la réponse. Vraiment c'est la 2.e qui me pose de gros problèmes

Tu peux préciser pour le sinus ? Et tu le fais comment ton eq pour la 2/b) ?

Pour montrer que a(n) converge : a(n) = 1/v(n) - 1/v(n-1) = (v(n-1)-v(n))/(v(n-1)*v(n)) = v(n-1)²/(v(n-1)v(n)) (avec la relation de récurrence trouvée au 2.a. : v(n+1)= v(n) - v(n)² ) .
d'où a(n) = v(n-1)/v(n) et comme v(n-1) équivalent à v(n) on a a(n) 1.
Pour la 2.c la question n'est vraiment pas importante dans le problème, mais en utilisant des petits to et des trucs embêtant ( :p ) on y arrive, mais bon elle sert juste à une meilleurs figuration de la suite v(n) elle ne sert pas..