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Primitives par intégrations par parties
Bonjour à tous,
Je bloque sur un petit exercice...
Pour tout entier n on définit sur R la fonction d'expression
1. Calculer et
en fonction de x appartenant à R.
2. A l'aide d'une IPP déterminer une relation de récurrence simple entre et
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Pour la 1. : = x et
= Arctan x
Pour la 2. : j'ai fait une intégration par parties, mais elle ne me permet pas d'isoler ...
J'ai trouvé : = Arctan x + 2n
Arctan t
Quelqu'un aurait-il une idée ? Merci pour votre aide 
Bonne journée !
S dt/(1+t²)^n
Poser 1/(1+t²)^n = u ---> du = -2n.t/(1+t²)^(n+1)
Poser dt = dv --> v = t
S dt/(1+t²)^n = t/(1+t²)^n + 2n S t²/(1+t²)^(n+1) dt
S dt/(1+t²)^n = t/(1+t²)^n + 2n S (t²+1-1)/(1+t²)^(n+1) dt
S dt/(1+t²)^n = t/(1+t²)^n + 2n S dt/(1+t²)^n dt - 2n S 1/(1+t²)^(n+1) dt
(1 - 2n) * S dt/(1+t²)^n = t/(1+t²)^n - 2n S 1/(1+t²)^(n+1) dt
Et en introduisant les bornes d'intégration :
(1 - 2n).F(n) = x/(1+x²)^n - 2n . F(n+1)
F(n+1) = [x/(1+x²)^n + (2n-1).F(n)]/(2n) ... pour n différent de 0
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Sauf distraction.
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