Niveau terminale

complexe

Posté par
omartborbi 25-10-14 à 23:10

Bonsoir , je bloque sur cet exercice
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{U},\vec{V})$
$(E_m) : z²-2mz-2(1+i)=0$ ( m un paramètre complexe )
soit $M_1$ et $M_2$ les points images de $z_1$ et $z_2$ les solutions de $(E_m)$
soit $\Delta '$ le discriminant réduit de $(E_m)$ . on note $\Omega$ l'ensemble des points M tels que $OM_1M_2$ soit rectangle en O
1) Mq $OM_1M_2$ est rectangle en O si et seulement si $|m|²=|\Delta'|$
2) en déduire qu'une équation de $\Omega$ est : $x²-y²+2xy+2=0$

pour 1) j'ai procédé de la sorte
$OM_1M_2$ est rectangle en O ssi $|Z_{M_1}|²+|Z_{M_2}|²=|Z_{M_2}-Z_{M_1}|²$
..
$|b'²+\Delta'+2b'\sqrt{\Delta'}|+|b'²+\Delta'-2b'\sqrt{\Delta'}|=4|\Delta'|$
mais je sais pas comment continuer ?

et pour 2) je trouve pas l'expression demandée

merci pour votre aide

Posté par re : complexe 26-10-14 à 01:00

Bonsoir,

$\Delta'=m^2+2(1+i)$

Soit $I$ le milieu de $[M_1M_2]$

$OM_1M_2\text{ rectangle en }O\Longleftrightarrow 4OI^2=M_1M_2^2$

Puis avec des équivalences entre chaque ligne:

$|z_1+z_2|^2=|z_2-z_1|^2$

$|z_1+z_2|^2=|(z_1+z_2)^2-4z_1z_2|$

$\left|\dfrac{z_1+z_2}{2}\right|^2=\left|\left(\dfrac{z_1+z_2}{2}\right)^2-z_1z_2\right|$

$|m|^2=|\Delta'|$

Posté par re : complexe 26-10-14 à 01:08

Pour la suite avec $m=x+iy$ :

$|m|^2=|m^2+2(1+i)|$

$|m|^4=|m^2+2(1+i)|^2$

$(x^2+y^2)^2=(x^2-y^2+2)^2+4(xy+1)^2$

Après réduction:

$x^2-y^2+2xy+2=0$

Posté par re : complexe 26-10-14 à 01:15

mercii
Vraiment chapeau bas pour la 1ere question respect !

Posté par re : complexe 26-10-14 à 01:27

De rien $omartborbi$

En prime un petit dessin; il se trouve que $I$ milieu de $[M_1M_2]$ est en $M$ d' affixe $m$
complexe

Posté par re : complexe 03-11-14 à 11:03

Un version dynamique de la figure ici:

Posté par re : complexe 03-11-14 à 11:12

Et merci à Nicolas pour ses précieux renseignements

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