Prouve quelle es majorees par 3/4 quelque soin n plus ou egale a 1

Bonjour,
As tu essayé de le montrer par récurrence ?
A toi de jouer

Oui mais jarrive pas

Où bloques tu ?
L'initialisation ne te pose pas de problème j'espère !?
J'imagine que c'est l'hérédité, dis moi où tu arrive.

a prouver que Un+1 = Un +1/2n+1+1/2n+2-1/n+1 est inferieur a 3/4

Ja essaye la recccurence Un+1 = 1/n+2+1/n+3+............+1/n+n+1/2n+1+1/2n+2  
Un+1= Un -1/n+1+1/2n+1+1/2n+2
Un+1 = Un -1/2n+2 +1/2n+1
Et bloque

u_n   = 1/(1+n)  +  1/(2+n)  + ... +  1/(n+n)

u_n+1 = 1/(2+n)  +  1/(3+n)  + ... +  1/(n+n+2)


tu vois que terme à terme, chaque terme de la somme constituant u_n+1 est inférieur au terme de la somme constituant u_n

donc u_n+1 < u_n < 3/4

d'ailleurs: u_n+1-u_n = 1/(1+n) - 1/(2n+1) - 1/(2n+2) = 1/(2n+2) - 1/(2n+1) = -1/(2n+2)(2n+1) < 0

donc u_n+1 < u_n < 3/4

Non ça n'est pas correct, Un est croissante...

comme la suite est décroissante, un majorant de u_n est obligatoirement un majorant de u_n+1

mais je doi prouver que Un est inferieur a 3/4 jarrive pas a trouver ou doi je integres ces expression merci a tous

Oue ca ce que ja iconstate des le debut un est croissante

je suis  désolé mais( u_n) est décroissante

reprenez mon post de 15h27

quand on calcule u_n+1-u_n, tous les termes de u_n s'en vont (sauf le premier) avec des termes de u_n+1, voir ensuite mon calcul...

Pardon Fred, mais il me semble que tu calcules me semble être :
Un - Un+1...

Avec des outils de première ça n'est pas évident. Effectivement la récurrence ne marche pas.
la fonction est croissante.

En fait si on connait la fonction harmonique, on trouve vite vers quoi ça tend.
Elle Vaut H_2n-H_n, (H étant la fonction harmonique) or H_n = ln n + +o(1) (avec la constante d'Euler) et donc elle est équivalente à ln(2n)-ln(n) = ln(2)

donc ça tend vers ln(2) ~ 0.69 donc elle est bien majorée par 0.75.

C'est quel étourdi !!!   désolé!  

Pas d'espoire donc jai rate le bounus dommage hhhh mercii

Bonjour
et en l'interprétant comme somme d'aires de rectangles et en bidouillant sur un quadrillage pour majorer cette aire ?
(je n'ai pas essayé, je ne sais pas si ça peut aboutir facilement)

oui en majorant minorant avec l'aire sous la fonction inverse, on doit pouvoir facilement montrer que ça tend vers ln(2).
il y a eu un exercice comme ça, il n'y a pas longtemps sur le site.
le problème c'est qu'en première, les intégrales ou les sommes de Riemann, c'est pas gagné.

je pensais à des majorations plus "élémentaires" trapèzes ou autres, avec des découpages permettant par déplacements des trapèzes de retrouver des trucs plus simples, et conduisant à < 3/4.
je me doute bien que l'intégrale et le ln, en première, gnépapotib !

Voir aussi les astuces que ben314 a trouvées sur maths-forum :

justement, si l'on trace la fonction f(x) = 1/(x+n)

effectivement, l'aire définie par:

(1-0)f(1) + (2-1)f(2) +....+(n-(n-1))f(n) = 1/(1+n) + 1/(2+n) + ... +1/(n+n) = u_n correspond à l'aire approchée par défaut en faisant la somme des aires des rectangles de largeur 1.

Hors cette aire est inférieure à l'aire rélle de la courbe y = 1/(x+n) qui est elle-même inférieure à l'aire définie par la droite passant par les points (0;1/n)  et  (n;1/2n)

l'aire définie entre cette droite, l'axe des abscisses et les droites x=0 et x=n correspond à:

aire du rectangle (de longueur n et de hauteur f(n)) + aire du triangle rectangle (de base n et de hauteur f(0)-f(n)) = n*f(n) + (n/2)*(f(0)-f(n)) = (1/2) + (n/2)((1/n)-(1/2n)) = 1/2 + 1/4 = 3/4

OK non?