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trajectoires dans le plan

Posté par Profil amethyste 31-03-15 à 06:30

salut,

j'ouvre ce fil pour apporter une solution à l'énoncé modifié de Oumay lequel est d'accord pour cette modification comme il le dit là sur son fil   flood sur "déterminer angle de rotation point mobile"

je précise que ne le connaissant pas : je détaillerai mes propos afin que la lecture soit simple, de plus c'est d'ailleurs aussi la raison pour laquelle j'ouvre ce sujet étant donné ... l'état dans lequel se trouve l'autre fil qui deviens illisible puisque celui ci partait d'un énoncé particulièrement compliqué et peu clair  


NOUVEL ENONCE

soit un robot se déplaçant dans le plan et pouvant tourner sur lui même afin de modifier sa direction de deplacement

déterminer alors un ensemble de trajectoires au choix du robot afin que partant d'un point A et selon une direction précise donnée  il arrive sur un point B et selon une direction  précise donnée
et qui ne soit pas forcément la même direction qu'il avait en partant du point  A   

par conséquent les données de cet énoncé sont au nombre de quatre

deux points A et B distincts du plan et deux vecteurs unitaires \overrightarrow {T_A} et \overrightarrow {T_B} qui représentent les directions du robot lorsqu'il est situé sur les points respectivement A et B


CONVENTIONS DE NOTATION

on se place dans l'espace affine euclidien du plan

une premiere convention
pour l'ecriture des points et des vecteurs ceux-ci seront représentés par des matrices de deux lignes et une colonne

soient deux points  A=\begin {pmatrix}a_1\\  a_2\end {pmatrix} et  B=\begin {pmatrix}b_1\\  b_2\end {pmatrix} alors on obtiens le vecteur  \overrightarrow {AB}=B-A=\begin {pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\end {pmatrix}

avec cette convention les notations d'un calcul  avec des points et des vecteurs et des bases se ramène à un calcul matriciel

selon la convention de notation que l'on se donne ici le produit scalaire euclidien de deux vecteurs   \overrightarrow {V} et   \overrightarrow {W} donnant pour solution un réel r\in \mathbb {R} est donné par le calcul matriciel

\begin {pmatrix}r\end {pmatrix}=\overrightarrow {V}^t.\overrightarrow {W} où   \overrightarrow {V}^t désigne la matrice transposée de la matrice représentée par le vecteur   \overrightarrow {V}


par ailleurs tout repère noté \{R,M\} dans cet espace est constitué d'un point R origine de ce repere et d'une base M que l'on représente par une matrice carrée de deux lignes , deux colonnes ,celle-ci étant inversible

le repere canonique est noté \{O,I\} selon O=\begin {pmatrix}0\\0\end {pmatrix} et I=\begin {pmatrix}1&0\\0&1\end {pmatrix}

tout point se definit par rapport à un repere donné , repere dont on supposera qu'il s'agit du repere canonique que lorsqu'il n'est pas explicitement précisé

ainsi soit un point A et un repere \{R,M\} alors les coordonnées de ce point  A par rapport à ce repere là sont représentées par la matrice solution du calcul matriciel suivant

M^{-1}.\overrightarrow {RA} et ici comme on ne la pas explicitement précisé le point A est donc defini par rapport au repere canonique


PREALABLE

on dispose donc de deux points A et B distincts du plan et de deux vecteurs unitaires \overrightarrow {T_A} et \overrightarrow {T_B} qui représentent les directions du robot lorsqu'il est situé sur les points respectivement A et B

et on pose une application admettant une differentielle notée g(x)=(C,\overrightarrow {T_C}) qui pour tout réel x\in \mathbb {R} associe un point  C et une direction \overrightarrow {T_C}

application telle que l'on vérifie g(0)=(A,\overrightarrow {T_A}) et  g(1)=(B,\overrightarrow {T_B})

toute application de ce type constituant une trajectoire

PAR AILLEURS dans ce qui suivra on posera une application admettant une differentielle notée e(x)=(E,\overrightarrow {T_E}) qui pour tout réel x\in \mathbb {R} associe un point  E et une direction \overrightarrow {T_E}

application telle que l'on vérifie e(0)=(A,\overrightarrow {T_A}) et  e(\gamma )=(B,\overrightarrow {T_B}) où  \gamma \in \mathbb {R}^* est un réel non nul qui sera déterminé plus loin dans le propos


PAR AILLEURS dans ce qui suivra on posera une application  notée f(x): \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} et sa dérivée f^{\prime}

cette fonction étant construite à partir des parametres suivant

pour les paramètres p_1,p_2,q_1,q_2,q^{\prime}_1,q^{\prime}_2 dans  \mathbb {R} et tels que p_1<p_2 alors on vérifie toujours   f(p_1)=q_1 , f(p_2)=q_2 ,  f^{\prime}(p_1)=q^{\prime}_1 ,  f^{\prime}(p_2)=q^{\prime}_2

pour l'écriture de cette fonction et afin de ne pas encombrer le propos je la pose dans l'encadré ci-dessous

Citation :
on se donne un ensemble  \mathfrak {F}=\{f:\mathbb{R}->\mathbb{R}|u \in \{1,-1\}| n \in \mathbb{Z} | k \in \mathbb{N}^*pair| l \in \mathbb{N}impair| \lambda \in\mathbb{R}| \lambda \in ]0;1[|w.\sin(2.\pi.w)-v.\sin(2.\pi.v)\neq 0 |a \in \mathbb{R}|(m,m_1,m_2) \in \mathbb{N}_*^3  \}  

et on pose les valeurs p,q,r,v,w,w_0,w_1,w_2 selon :

p=p_2-p_1

q=q_2-q_1

r=q^{\prime}_2-q^{\prime}_1

w=\frac {\pi}{4.v}

w_0=\frac {2.\pi}{p}

w_1=\frac {k.\pi}{p}

w_2=\frac {\pi.m_2}{p}

v\in \{\frac {n+u.\sqrt {n^2+\pi}}{2},\frac {2+n^2+u.\sqrt {(n^2+2)^2-\pi}}{2}\}

et on pose l'application h(x)=2.\pi.p^{-1}(x-p_1)

enfin on pose six fonctions f_1(x),f_2(x),...,f_6(x) avec leurs dérivées respectivement f_1^{\prime}(x),f_2^{\prime}(x),...,f_6^{\prime}(x)

f_1(x) = \frac {1}{2}.cos(w_1.(x-p_1))+ \frac {1}{2}  

f_1^{\prime}(x)=  \frac {-w_1}{2}.sin(w_1.(x-p_1))

f_2(x) = \frac {-\lambda}{2}.cos(w_0.(x-p_1)+\pi)- \frac {\lambda}{2}+1  

f_2^{\prime}(x)=  \frac {\lambda.w_0}{2}.sin(w_0.(x-p_1)+\pi)

f_3(x) = q_1+q.sin(2^{-1}.\pi.p^{-1}.(x-p_1))+(2^{-1}.\pi^{-1}.q_1^{\prime}.p-4^{-1}.q).sin(2.\pi.p^{-1}.(x-p_1))  

f_3^{\prime}(x)= 2^{-1}.\pi.p^{-1}.q.cos(2^{-1}.\pi.p^{-1}.(x-p_1))+(q_1^{\prime}-2^{-1}.\pi.p^{-1}.q).cos(2.\pi.p^{-1}.(x-p_1))

f_4(x) = 2^{-1}.\pi^{-1}.p.(2^{-1}.\pi.p^{-1}.q+r). \frac {cos(v.h(x))-cos(w.h(x))}{w.sin(2.\pi.w)-v.sin(2.\pi.w)}  

f_4^{\prime}(x)= (2^{-1}.\pi.p^{-1}.q+r) .\frac {w.sin(w.h(x))-v.sin(v.h(x))}{w.sin(2.\pi.w)-v.sin(2.\pi.w)}

f_5(x) = \frac {1}{2^m}.(cos(w_0.(x-p_1))+1)^m  

f_5^{\prime}(x)= \frac {-m.w_0}{2^m}.sin(w_0.(x-p_1)).(cos(w_0.(x-p_1))+1)^{m-1}

f_6(x) = \begin {pmatrix} 1-\frac {1}{2^{m_1}}.(cos(w_0.(x-p_1))+1)^{m_1} \end {pmatrix} .\begin {pmatrix} \frac {q}{p}.x-\frac {q.p_1}{p}+q_1+a.sin^l(w_2.(x-p_1))\end {pmatrix}   

f_6^{\prime}(x)= \begin {pmatrix} 1-\frac {1}{2^{m_1}}.(cos(w_0.(x-p_1))+1)^{m_1} \end {pmatrix} .\begin {pmatrix} a.l.w_2.cos(w_2.(x-p_1)).sin^{l-1}(w_2.(x-p_1))+\frac {q}{p}\end {pmatrix} +...
...+\frac {m_1.w_0}{2^{m_1}}.sin(w_0.(x-p_1)).(cos(w_0.(x-p_1))+1)^{m_1-1}

alors l'ecriture de la fonction est la suivante  

f(x) = f_1(x).f_2(x).f_5(x).\begin {pmatrix} f_3(x)+f_4(x)-\frac {q}{p}.x+\frac {q.p_1}{p}-q_1\end {pmatrix} + f_5(x).\begin {pmatrix} \frac {q}{p}.x-\frac {q.p_1}{p}+q_1\end {pmatrix}  +f_6(x)  

f^{\prime}(x)= f_1(x).f_2(x).f_5^{\prime}(x).\begin {pmatrix} f_3(x)+f_4(x)-\frac {q}{p}.x+\frac {q.p_1}{p}-q_1\end {pmatrix} + f_5^{\prime}(x).\begin {pmatrix} \frac {q}{p}.x-\frac {q.p_1}{p}+q_1\end {pmatrix} +...
...+f_5(x).(f_1(x).f_2^{\prime}(x)+f_1^{\prime}(x).f_2(x)).\begin {pmatrix} f_3(x)+f_4(x)-\frac {q}{p}.x+\frac {q.p_1}{p}-q_1\end {pmatrix}+...
...+ f_1(x).f_2(x).f_5(x). .\begin {pmatrix} f_3^{\prime}(x)+f_4^{\prime}(x)-\frac {q}{p} \end {pmatrix} +\frac {q}{p}.f_5(x) +f_6^{\prime}(x)




SOLUTION DE L'ENONCE

avant toute chose on se donne un réel non nul r\in \mathbb {R}^* qui restera fixé (pour une trajectoire donnée)

puis ayant déterminé pour tout réel x\in \mathbb {R} , e(x)=(E,\overrightarrow {T_E}) on recherche  g(x)=(C,\overrightarrow {T_C}) pour cela on applique \overrightarrow {T_C}=\overrightarrow {T_E} et

C=D+r\overrightarrow {DE} avec le point D=E+\psi _0\psi _3\overrightarrow {AB}-\psi _0\psi _1\overrightarrow {AE} et avec \psi _0=\sqrt {\frac {\psi _1\psi _2-\psi _3^2}{\psi _1^2}} , \psi _1 = \overrightarrow {AB}^t\overrightarrow {AB} , \psi _2 = \overrightarrow {AE}^t\overrightarrow {AE} ,  \psi _3 = \overrightarrow {AB}^t\overrightarrow {AE}

à présent il reste à determiner pour tout réel x\in \mathbb {R} , e(x)=(E,\overrightarrow {T_E})

...je reprend plus tard car là faut que j'aille travailler ....

Posté par
dpire : trajectoires dans le plan 31-03-15 à 08:47

Bonjour,
On imagine que quand tu travailles c'est bien moins simple encore

Posté par Profil amethystere : trajectoires dans le plan 31-03-15 à 14:20

je refais le début de la solution car j'ai fais une erreur  : je me suis un peu embrouillé avec la variable x ... bref

SOLUTION DE L'ENONCE

avant toute chose on se donne un réel non nul r\in \mathbb {R}^* qui restera fixé (pour une trajectoire donnée)

puis ayant déterminé pour tout réel x\in \mathbb {R} , e(x.\gamma )=(E,\overrightarrow {T_E})

de sorte que comme je l'ai dit plus haut on vérifie  e(0)=(A,\overrightarrow {T_A}) et  e(\gamma )=(B,\overrightarrow {T_B}) où  \gamma \in \mathbb {R}^* est un réel non nul qui sera déterminé plus loin dans le propos

on recherche alors à partir de là  g(x)=(C,\overrightarrow {T_C}) tel que g(0)=(A,\overrightarrow {T_A}) et  g(1)=(B,\overrightarrow {T_B})


pour cela on applique \overrightarrow {T_C}=\overrightarrow {T_E} et C=D+r\overrightarrow {DE}

avec le point D=E+\psi _0\psi _3\overrightarrow {AB}-\psi _0\psi _1\overrightarrow {AE} et avec \psi _0=\sqrt {\frac {\psi _1\psi _2-\psi _3^2}{\psi _1^2}} , \psi _1 = \overrightarrow {AB}^t\overrightarrow {AB} , \psi _2 = \overrightarrow {AE}^t\overrightarrow {AE} ,  \psi _3 = \overrightarrow {AB}^t\overrightarrow {AE}

à présent il reste à determiner pour tout réel x\in \mathbb {R} , e(x.\gamma )=(E,\overrightarrow {T_E})

...voilà là c'est ok je reprend plus tard ...

Posté par Profil amethystere : trajectoires dans le plan 04-04-15 à 09:57

bon je reprend (je sais pas si tu me suis jusque là Oumay -j'ai pas de nouvelles)

on s'occupe donc de l'application \forall x\in \mathbb {R} , e(x )=(P,\overrightarrow {T_P})

P est un point du plan défini sur le repere canonique du plan et \overrightarrow {T_P} est le vecteur unitaire associé à ce point

on vérifie e(0)=(A,\overrightarrow {T_A}) et e(\gamma )=(B,\overrightarrow {T_B}) avec \gamma \in \mathbb {R}^* qui est un réel que l'on doit determiner

pour determiner le point E associé au réel x on applique e(x.\gamma )=(E,\overrightarrow {T_E})

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on pose une matrice inversible notée e=\begin {bmatrix}e_{11}&e_{12}\\e_{21}&e_{22}\end {bmatrix} et on pose deux matrices colonnes  e_1=\begin {bmatrix}e_{11} \\e_{21} \end {bmatrix}  et  e_2=\begin {bmatrix}e_{12} \\e_{22} \end {bmatrix}

cette matrice inversible e est construite selon e_1=B-A=\begin {bmatrix}b_1 \\b_2 \end {bmatrix}-\begin {bmatrix}a_1 \\a_2 \end {bmatrix} et on pose e_2=\begin {bmatrix}-e_{21} \\e_{11} \end {bmatrix}

ainsi e=\begin {bmatrix}e_{11}&e_{12}\\e_{21}&e_{22}\end {bmatrix}=\begin {bmatrix}b_1-a_1&a_2-b_2\\b_2 -a_2&b_1-a_1\end {bmatrix} et elle est inversible car les points A   et   B   sont distincts

ensuite on construit deux vecteurs notés

\overrightarrow {W_A}=\begin {bmatrix}w_{11} \\w_{21} \end {bmatrix}=e^{-1} .\begin {bmatrix}v_{11} \\v_{21} \end {bmatrix}=\begin {bmatrix}e_{11}&e_{12}\\e_{21}&e_{22}\end {bmatrix}^{-1} .\begin {bmatrix}v_{11} \\v_{21} \end {bmatrix}

\overrightarrow {W_B}=\begin {bmatrix}w_{12} \\w_{22} \end {bmatrix} =e^{-1} .\begin {bmatrix}v_{12} \\v_{22} \end {bmatrix}=\begin {bmatrix}e_{11}&e_{12}\\e_{21}&e_{22}\end {bmatrix}^{-1} .\begin {bmatrix}v_{12} \\v_{22} \end {bmatrix}

à ces deux vecteurs on associe respectivement deux angles notés \overline {\theta _A} et  \overline {\theta _B} dans l'intervalle ]-\pi,\pi] selon

pour w_{21}\geq 0 on pose \overline {\theta _A}=arccos \begin {pmatrix}\frac {w_{11}}{\sqrt {w_{11}^2+w_{21}^2}}\end {pmatrix}

pour w_{21}< 0 on pose \overline {\theta _A}=-arccos \begin {pmatrix}\frac {w_{11}}{\sqrt {w_{11}^2+w_{21}^2}}\end {pmatrix}

pour w_{22}\geq 0 on pose \overline {\theta _B}=arccos \begin {pmatrix}\frac {w_{12}}{\sqrt {w_{12}^2+w_{22}^2}}\end {pmatrix}

pour w_{22}< 0 on pose \overline {\theta _B}=-arccos \begin {pmatrix}\frac {w_{12}}{\sqrt {w_{12}^2+w_{22}^2}}\end {pmatrix}

pour l'application \forall x\in \mathbb {R} , e(x )=(P,\overrightarrow {T_P}) telle que l'on vérifie on vérifie e(0)=(A,\overrightarrow {T_A}) et e(\gamma )=(B,\overrightarrow {T_B}) avec \gamma \in \mathbb {R}^*

on doit determiner un point noté   Q=\begin {bmatrix}q_1\\ q_2\end {bmatrix} et on verifiera   P=A+e.Q=\begin {bmatrix}a_1\\ a_2\end {bmatrix}+\begin {bmatrix}e_{11}&e_{12}\\e_{21}&e_{22}\end {bmatrix}.\begin {bmatrix}q_1\\ q_2\end {bmatrix}

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pour résoudre  l'application \forall x\in \mathbb {R} , e(x )=(P,\overrightarrow {T_P})

on considère 17 configurations selon les valeurs des angles  \overline {\theta _A} et  \overline {\theta _B} obtenus

on utilise pour ce faire l'application f:\mathbb {R}->\mathbb {R} et sa dérivée f^\prime donnée dans le PREALABLE (voir plus haut)

il s'agit alors pour ces 17 configurations de se donner les paramètres  p_1,p_2,q_1,q_2,q^{\prime}_1,q^{\prime}_2 dans  \mathbb {R} et tels que p_1<p_2

pour chacune de ces configurations on définit le réel \gamma dont on a parlé plus haut

1er type de configuration

\overline {\theta _A} et  \overline {\theta _B} sont dans l'intervalle [\frac {-\pi}{4},\frac {\pi}{4}]

on obtiens \gamma =1 et Q=\begin {bmatrix}x\\  f(x)\end {bmatrix}

avec les parametres p_1=0
p_2=1
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg(\overline {\theta _A})
q^{\prime}_2=tg(\overline {\theta _B})

on obtiens le vecteur  \overrightarrow {T}_P=\begin {bmatrix}e_{11}&e_{12}\\e_{21}&e_{22}\end {bmatrix}.\begin {bmatrix}1\\f^\prime (x)\end {bmatrix}  
  
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pour toutes les autres configurations on va poser toute une série de matrices colonnes qui représentent des points et que l'on note O_j=\begin {bmatrix}o_{1j}\\ o_{2j}\end {bmatrix}

et une série de matrices inversibles que l'on note  E_j=\begin {bmatrix}E_{11,j}&E_{12,j}\\E_{21,j}&E_{22,j} \end {bmatrix}

et enfin une série de matrices colonnes que l'on note  Z_j=\begin {bmatrix}z_{1j}\\ z_{2j}\end {bmatrix}

formulations générales valables pour toutes les 16 autres configurations

on obtiens  Q=O_j+E_j.Z_j et   z_{2j}=f(z_{1j})

et  \overrightarrow {T}_P=\begin {bmatrix}e_{11}&e_{12}\\e_{21}&e_{22}\end {bmatrix}.\begin {bmatrix}E_{11,j}&E_{12,j}\\E_{21,j}&E_{22,j} \end {bmatrix}.\begin {bmatrix}1\\ f^\prime (z_{1j})\end {bmatrix}

les inconnues de ces formulations sont définies selon les 16 types de configurations restants à décrire  

à plus tard pour la suite je reviens ...

Posté par Profil amethystere : trajectoires dans le plan 04-04-15 à 10:33

une petite erreur  , je voulais dire ...

\overrightarrow {W}_A=\begin {bmatrix}w_{11} \\w_{21} \end {bmatrix}=e^{-1} .\overrightarrow {T}_A =\begin {bmatrix}e_{11}&e_{12}\\e_{21}&e_{22}\end {bmatrix}^{-1} .\overrightarrow {T}_A  

\overrightarrow {W}_B=\begin {bmatrix}w_{12} \\w_{22} \end {bmatrix} =e^{-1} .\overrightarrow {T}_B =\begin {bmatrix}e_{11}&e_{12}\\e_{21}&e_{22}\end {bmatrix}^{-1} .\overrightarrow {T}_B

bon je reprendrai plus tard ...

Posté par Profil amethystere : trajectoires dans le plan 08-04-15 à 17:02

bon je reprend ceci dit j'avance pas vite

2ème type de configuration

soit alors  \overline {\theta }_A ET(logique)  \overline {\theta }_B sont dans l'intervalle [0,\frac {\pi}{2} ]

soit alors  \overline {\theta }_A OU(logique)   \overline {\theta }_B est dans l'intervalle ]\frac {\pi}{4},\frac {\pi}{2}]

on obtiens \gamma =\sqrt {\frac {1}{2}}

on pose z_{10}=x qui est la premiere composante de Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix}

O_0=\begin {bmatrix}o_{10}\\ o_{20}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}\frac {1}{4}\\ \frac {-1}{4}\end {bmatrix}

E_0=\begin {bmatrix}E_{11,0}&E_{12,0}\\E_{21,0}&E_{22,0} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  -\sqrt {\frac {1}{2}}\\ \sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{20}=f(z_{10}) de  Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{10}) avec les paramètres

avec les parametres p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{2}}
q_1=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_2=-\sqrt {\frac {1}{8}}
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_A-\frac {\pi}{4}\end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_B-\frac {\pi}{4}\end {pmatrix}

bon il reste 15 configurations à faire je reviens un peu plus tard ...  

Posté par Profil amethystere : trajectoires dans le plan 08-04-15 à 19:49

je continue dès que j'ai un peu de temps libre ...

3ème type de configuration

soit alors  \overline {\theta }_A ET(logique)  \overline {\theta }_B sont dans l'intervalle [-\frac {\pi}{2},0]

soit alors  \overline {\theta }_A OU(logique)   \overline {\theta }_B est dans l'intervalle [-\frac {\pi}{2},-\frac {\pi}{4}[

on obtiens \gamma =\sqrt {\frac {1}{2}}

on pose z_{10}=x qui est la premiere composante de Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix}

O_0=\begin {bmatrix}o_{10}\\ o_{20}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}\frac {1}{4}\\ \frac {1}{4}\end {bmatrix}

E_0=\begin {bmatrix}E_{11,0}&E_{12,0}\\E_{21,0}&E_{22,0} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  \sqrt {\frac {1}{2}}\\ -\sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{20}=f(z_{10}) de  Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{10}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{2}}
q_1=-\sqrt {\frac {1}{8}}
q_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_A+\frac {\pi}{4}\end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_B+\frac {\pi}{4}\end {pmatrix}

bon il reste 14 configurations à faire je reviens un peu plus tard ...  

Posté par Profil amethystere : trajectoires dans le plan 08-04-15 à 22:32

je continue ...

4ème type de configuration

soit alors  \overline {\theta }_A est dans l'intervalle [-\frac {\pi}{2},-\frac {\pi}{4}[ET(logique)  \overline {\theta }_B est dans l'intervalle ]\frac {\pi}{4},\frac {\pi}{2}]

soit alors  \overline {\theta }_A est dans l'intervalle [-\frac {\pi}{4},0[ET(logique)  \overline {\theta }_B est dans l'intervalle ]\frac {\pi}{4},\frac {\pi}{2}]

soit alors  \overline {\theta }_A est dans l'intervalle [-\frac {\pi}{2},-\frac {\pi}{4}[ET(logique)  \overline {\theta }_B est dans l'intervalle ]0,\frac {\pi}{4}]
  

on obtiens \gamma =3.\sqrt {\frac {1}{8}}

-lorsque x est dans l'intervalle ]-\infty ,\sqrt {\frac {1}{2}}] alors on pose z_{10}=x qui est la premiere composante de Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix}

O_0=\begin {bmatrix}o_{10}\\ o_{20}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}\frac {1}{4}\\ \frac {1}{4}\end {bmatrix}

E_0=\begin {bmatrix}E_{11,0}&E_{12,0}\\E_{21,0}&E_{22,0} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  \sqrt {\frac {1}{2}}\\ -\sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{20}=f(z_{10}) de  Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{10}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{2}}
q_1=-\sqrt {\frac {1}{8}}
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_A+\frac {\pi}{4}\end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix} \frac {\pi}{4}\end {pmatrix}

-lorsque x est dans l'intervalle [\sqrt {\frac {1}{2}},+\infty [ alors on pose z_{11}=x-\sqrt {\frac {1}{2}} qui est la premiere composante de Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix}

O_1=\begin {bmatrix}o_{11}\\ o_{21}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}\frac {3}{4}\\ -\frac {1}{4}\end {bmatrix}

E_1=\begin {bmatrix}E_{11,1}&E_{12,1}\\E_{21,1}&E_{22,1} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  -\sqrt {\frac {1}{2}}\\ \sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{21}=f(z_{11}) de  Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{11}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix} -\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_B-\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}

bon il reste 13 configurations à faire je reviens un peu plus tard ...  

Posté par Profil amethystere : trajectoires dans le plan 09-04-15 à 04:41

avant de continuer (car il reste encore à décrire 13 configurations)
je précise que on peut remarquer que pour certaines des valeurs données dans l'énoncé
il existe donc des cas pouvant admettres plusieurs configurations  et chaque configuration constituant une infinité non dénombrable de trajectoires : ces diverses configurations (lorsquelles sont possibles) sont autants d'ensembles non dénombrables de trajectoires possibles

5ème type de configuration

soit alors  \overline {\theta }_A est dans l'intervalle ]\frac {\pi}{4},\frac {\pi}{2}]ET(logique)  \overline {\theta }_B est dans l'intervalle [-\frac {\pi}{2},-\frac {\pi}{4}[

soit alors  \overline {\theta }_A est dans l'intervalle ]\frac {\pi}{4},\frac {\pi}{2}]ET(logique)  \overline {\theta }_B est dans l'intervalle [-\frac {\pi}{4},0[

soit alors  \overline {\theta }_A est dans l'intervalle ]0,\frac {\pi}{4}]ET(logique)  \overline {\theta }_B est dans l'intervalle [-\frac {\pi}{2},-\frac {\pi}{4}[
  

on obtiens \gamma =3.\sqrt {\frac {1}{8}}

-lorsque x est dans l'intervalle ]-\infty ,\sqrt {\frac {1}{2}}] alors on pose z_{10}=x qui est la premiere composante de Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix}

O_0=\begin {bmatrix}o_{10}\\ o_{20}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}\frac {1}{4}\\ -\frac {1}{4}\end {bmatrix}

E_0=\begin {bmatrix}E_{11,0}&E_{12,0}\\E_{21,0}&E_{22,0} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  -\sqrt {\frac {1}{2}}\\ \sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{20}=f(z_{10}) de  Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{10}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{2}}
q_1=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_A-\frac {\pi}{4}\end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix} -\frac {\pi}{4}\end {pmatrix}

-lorsque x est dans l'intervalle [\sqrt {\frac {1}{2}},+\infty [ alors on pose z_{11}=x-\sqrt {\frac {1}{2}} qui est la premiere composante de Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix}

O_1=\begin {bmatrix}o_{11}\\ o_{21}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}\frac {3}{4}\\ \frac {1}{4}\end {bmatrix}

E_1=\begin {bmatrix}E_{11,1}&E_{12,1}\\E_{21,1}&E_{22,1} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  \sqrt {\frac {1}{2}}\\ -\sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{21}=f(z_{11}) de  Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{11}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix} -\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_B+\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}

bon il reste 12 configurations à faire je reviens un peu plus tard ...  

Posté par Profil amethystere : trajectoires dans le plan 09-04-15 à 09:27

bon j'avance un peu car apres ce post il restera encore à faire

6ème type de configuration

pour \overline {\theta }_A est dans l'intervalle [0,\frac {\pi}{2}]ET(logique)  \overline {\theta }_B est dans l'intervalle ]- \pi ,-\frac {\pi}{2}[\cup \{\pi \}


on obtiens \gamma =5.\sqrt {\frac {1}{8}}

-lorsque x est dans l'intervalle ]-\infty ,3.\sqrt {\frac {1}{8}}] alors on pose z_{10}=x qui est la premiere composante de Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix}

O_0=\begin {bmatrix}o_{10}\\ o_{20}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}\frac {1}{4}\\ -\frac {1}{4}\end {bmatrix}

E_0=\begin {bmatrix}E_{11,0}&E_{12,0}\\E_{21,0}&E_{22,0} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  -\sqrt {\frac {1}{2}}\\ \sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{20}=f(z_{10}) de  Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{10}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=3.\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_A-\frac {\pi}{4}\end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix} -\frac {\pi}{4}\end {pmatrix}

-lorsque 3.\sqrt {\frac {1}{8}}\leq x \leq \sqrt {2}  alors on pose z_{11}=x-3.\sqrt {\frac {1}{8}} qui est la premiere composante de Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix}

O_1=\begin {bmatrix}o_{11}\\ o_{21}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}1\\ \frac {1}{2}\end {bmatrix}

E_1=\begin {bmatrix}E_{11,1}&E_{12,1}\\E_{21,1}&E_{22,1} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  \sqrt {\frac {1}{2}}\\ -\sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{21}=f(z_{11}) de  Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{11}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}-\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}

-lorsque x est dans l'intervalle [\sqrt {2},+\infty [ alors on pose z_{12}=x-\sqrt {2} qui est la premiere composante de Z_2=\begin {bmatrix}z_{12}\\ z_{22}\end {bmatrix}

O_2=\begin {bmatrix}o_{12}\\ o_{22}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}\frac {5}{4}\\ \frac {1}{4}\end {bmatrix}

E_2=\begin {bmatrix}E_{11,2}&E_{12,2}\\E_{21,2}&E_{22,2} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}-\sqrt {\frac {1}{2}}  &  \sqrt {\frac {1}{2}}\\ -\sqrt {\frac {1}{2}}& -\sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{22}=f(z_{12}) de  Z_2=\begin {bmatrix}z_{12}\\ z_{22}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{12}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix} \frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_B+\frac {3.\pi}{4} \end {pmatrix}


bon il reste 11 configurations à faire je reviens un peu plus tard ...  

Posté par Profil amethystere : trajectoires dans le plan 09-04-15 à 11:18

types 7,8,9 et il en restera encore 8 à faire mais je ferai tout (désolé pour le retard...)


7ème type de configuration

pour \overline {\theta }_A est dans l'intervalle [-\frac {\pi}{2},0]ET(logique)  \overline {\theta }_B est dans l'intervalle ]\frac {\pi}{2},\pi]


on obtiens \gamma =5.\sqrt {\frac {1}{8}}

-lorsque x est dans l'intervalle ]-\infty ,3.\sqrt {\frac {1}{8}}] alors on pose z_{10}=x qui est la premiere composante de Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix}

O_0=\begin {bmatrix}o_{10}\\ o_{20}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}\frac {1}{4}\\ \frac {1}{4}\end {bmatrix}

E_0=\begin {bmatrix}E_{11,0}&E_{12,0}\\E_{21,0}&E_{22,0} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  \sqrt {\frac {1}{2}}\\ -\sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{20}=f(z_{10}) de  Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{10}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=3.\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=-\sqrt {\frac {1}{8}}
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_A+\frac {\pi}{4}\end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix} \frac {\pi}{4}\end {pmatrix}

-lorsque 3.\sqrt {\frac {1}{8}}\leq x \leq \sqrt {2}  alors on pose z_{11}=x-3.\sqrt {\frac {1}{8}} qui est la premiere composante de Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix}

O_1=\begin {bmatrix}o_{11}\\ o_{21}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}1\\ -\frac {1}{2}\end {bmatrix}

E_1=\begin {bmatrix}E_{11,1}&E_{12,1}\\E_{21,1}&E_{22,1} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  -\sqrt {\frac {1}{2}}\\ \sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{21}=f(z_{11}) de  Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{11}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}-\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}

-lorsque x est dans l'intervalle [\sqrt {2},+\infty [ alors on pose z_{12}=x-\sqrt {2} qui est la premiere composante de Z_2=\begin {bmatrix}z_{12}\\ z_{22}\end {bmatrix}

O_2=\begin {bmatrix}o_{12}\\ o_{22}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}\frac {5}{4}\\ -\frac {1}{4}\end {bmatrix}

E_2=\begin {bmatrix}E_{11,2}&E_{12,2}\\E_{21,2}&E_{22,2} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}-\sqrt {\frac {1}{2}}  &  -\sqrt {\frac {1}{2}}\\ \sqrt {\frac {1}{2}}& -\sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{22}=f(z_{12}) de  Z_2=\begin {bmatrix}z_{12}\\ z_{22}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{12}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix} -\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_B-\frac {3.\pi}{4} \end {pmatrix}


8ème type de configuration

pour \overline {\theta }_A est dans l'intervalle ]\frac {\pi}{2},\pi]ET(logique)  \overline {\theta }_B est dans l'intervalle [-\frac {\pi}{2},0]


on obtiens \gamma =5.\sqrt {\frac {1}{8}}

-lorsque x est dans l'intervalle ]-\infty ,\sqrt {\frac {1}{8}}] alors on pose z_{10}=x qui est la premiere composante de Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix}

O_0=\begin {bmatrix}o_{10}\\ o_{20}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}0\\0\end {bmatrix}

E_0=\begin {bmatrix}E_{11,0}&E_{12,0}\\E_{21,0}&E_{22,0} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}-\sqrt {\frac {1}{2}}  &  -\sqrt {\frac {1}{2}}\\ \sqrt {\frac {1}{2}}& -\sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{20}=f(z_{10}) de  Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{10}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_A-\frac {3.\pi}{4}\end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix} -\frac {\pi}{4}\end {pmatrix}

-lorsque \sqrt {\frac {1}{8}}\leq x \leq \sqrt {\frac {1}{2}}  alors on pose z_{11}=x-\sqrt {\frac {1}{8}} qui est la premiere composante de Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix}

O_1=\begin {bmatrix}o_{11}\\ o_{21}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}-\frac {1}{4}\\ \frac {1}{4}\end {bmatrix}

E_1=\begin {bmatrix}E_{11,1}&E_{12,1}\\E_{21,1}&E_{22,1} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  -\sqrt {\frac {1}{2}}\\ \sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{21}=f(z_{11}) de  Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{11}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}-\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}

-lorsque x est dans l'intervalle [ \sqrt {\frac {1}{2}},+\infty [ alors on pose z_{12}=x- \sqrt {\frac {1}{2}} qui est la premiere composante de Z_2=\begin {bmatrix}z_{12}\\ z_{22}\end {bmatrix}

O_2=\begin {bmatrix}o_{12}\\ o_{22}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}0\\ \frac {1}{2}\end {bmatrix}

E_2=\begin {bmatrix}E_{11,2}&E_{12,2}\\E_{21,2}&E_{22,2} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  \sqrt {\frac {1}{2}}\\ -\sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{22}=f(z_{12}) de  Z_2=\begin {bmatrix}z_{12}\\ z_{22}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{12}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=3.\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix} \frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_B+\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}


9ème type de configuration

pour \overline {\theta }_A est dans l'intervalle ]-\pi,-\frac {\pi}{2}[\cup \{\pi \}ET(logique)  \overline {\theta }_B est dans l'intervalle [0,\frac {\pi}{2}]


on obtiens \gamma =5.\sqrt {\frac {1}{8}}

-lorsque x est dans l'intervalle ]-\infty ,\sqrt {\frac {1}{8}}] alors on pose z_{10}=x qui est la premiere composante de Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix}

O_0=\begin {bmatrix}o_{10}\\ o_{20}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}0\\ 0\end {bmatrix}

E_0=\begin {bmatrix}E_{11,0}&E_{12,0}\\E_{21,0}&E_{22,0} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}-\sqrt {\frac {1}{2}}  &  \sqrt {\frac {1}{2}}\\ -\sqrt {\frac {1}{2}}& -\sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{20}=f(z_{10}) de  Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{10}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_A+\frac {3.\pi}{4}\end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix} \frac {\pi}{4}\end {pmatrix}

-lorsque \sqrt {\frac {1}{8}}\leq x \leq  \sqrt {\frac {1}{2}}  alors on pose z_{11}=x-\sqrt {\frac {1}{8}} qui est la premiere composante de Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix}

O_1=\begin {bmatrix}o_{11}\\ o_{21}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}-\frac {1}{4}\\ -\frac {1}{4}\end {bmatrix}

E_1=\begin {bmatrix}E_{11,1}&E_{12,1}\\E_{21,1}&E_{22,1} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  \sqrt {\frac {1}{2}}\\ -\sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{21}=f(z_{11}) de  Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{11}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}-\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}

-lorsque x est dans l'intervalle [ \sqrt {\frac {1}{2}},+\infty [ alors on pose z_{12}=x- \sqrt {\frac {1}{2}} qui est la premiere composante de Z_2=\begin {bmatrix}z_{12}\\ z_{22}\end {bmatrix}

O_2=\begin {bmatrix}o_{12}\\ o_{22}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}0\\-\frac {1}{2}\end {bmatrix}

E_2=\begin {bmatrix}E_{11,2}&E_{12,2}\\E_{21,2}&E_{22,2} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  -\sqrt {\frac {1}{2}}\\ \sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{22}=f(z_{12}) de  Z_2=\begin {bmatrix}z_{12}\\ z_{22}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{12}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=3.\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=-\sqrt {\frac {1}{8}}
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix} -\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_B-\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}


bon il reste 8 configurations à faire je reviens un peu plus tard ...  

Posté par Profil amethystere : trajectoires dans le plan 11-04-15 à 03:21

types 10,11,12,13  et il en restera plus que 4 à faire


10ème type de configuration

pour \overline {\theta }_A est dans l'intervalle [0,\frac {\pi}{2}]ET(logique)  \overline {\theta }_B est dans l'intervalle ]\frac {\pi}{2},\pi]


on obtiens \gamma =5.\sqrt {\frac {1}{8}}

-lorsque x est dans l'intervalle ]-\infty ,\sqrt {\frac {1}{8}}] alors on pose z_{10}=x qui est la premiere composante de Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix}

O_0=\begin {bmatrix}o_{10}\\ o_{20}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}\frac {1}{4}\\ -\frac {1}{4}\end {bmatrix}

E_0=\begin {bmatrix}E_{11,0}&E_{12,0}\\E_{21,0}&E_{22,0} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  -\sqrt {\frac {1}{2}}\\ \sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{20}=f(z_{10}) de  Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{10}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_A-\frac {\pi}{4}\end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix} -\frac {\pi}{4}\end {pmatrix}

-lorsque \sqrt {\frac {1}{8}}\leq x \leq 3.\sqrt {\frac {1}{8}}   alors on pose z_{11}=x-\sqrt {\frac {1}{8}} qui est la premiere composante de Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix}

O_1=\begin {bmatrix}o_{11}\\ o_{21}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}\frac {1}{2}\\ 0\end {bmatrix}

E_1=\begin {bmatrix}E_{11,1}&E_{12,1}\\E_{21,1}&E_{22,1} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  \sqrt {\frac {1}{2}}\\ -\sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{21}=f(z_{11}) de  Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{11}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{2}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}

-lorsque  3.\sqrt {\frac {1}{8}}\leq x \leq \sqrt {2}  alors on pose z_{12}=x-3.\sqrt {\frac {1}{8}} qui est la premiere composante de Z_2=\begin {bmatrix}z_{12}\\ z_{22}\end {bmatrix}

O_2=\begin {bmatrix}o_{12}\\ o_{22}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}1\\  -\frac {1}{2}\end {bmatrix}

E_2=\begin {bmatrix}E_{11,2}&E_{12,2}\\E_{21,2}&E_{22,2} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  -\sqrt {\frac {1}{2}}\\ \sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{22}=f(z_{12}) de  Z_2=\begin {bmatrix}z_{12}\\ z_{22}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{12}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix} -\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}


-lorsque x est dans l'intervalle [\sqrt {2},+\infty [ alors on pose z_{13}=x-\sqrt {2} qui est la premiere composante de Z_3=\begin {bmatrix}z_{13}\\ z_{23}\end {bmatrix}

O_3=\begin {bmatrix}o_{13}\\ o_{23}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}\frac {5}{4}\\ -\frac {1}{4}\end {bmatrix}

E_3=\begin {bmatrix}E_{11,3}&E_{12,3}\\E_{21,3}&E_{22,3} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}-\sqrt {\frac {1}{2}}  &  -\sqrt {\frac {1}{2}}\\ \sqrt {\frac {1}{2}}& -\sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{23}=f(z_{13}) de  Z_3=\begin {bmatrix}z_{13}\\ z_{23}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{13}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix} -\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_B-\frac {3.\pi}{4} \end {pmatrix}


11ème type de configuration

pour \overline {\theta }_A est dans l'intervalle ]\frac {\pi}{2},\pi]ET(logique)  \overline {\theta }_B est dans l'intervalle [0,\frac {\pi}{2}]


on obtiens \gamma =3.\sqrt {\frac {1}{2}}

-lorsque x est dans l'intervalle ]-\infty ,\sqrt {\frac {1}{8}}] alors on pose z_{10}=x qui est la premiere composante de Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix}

O_0=\begin {bmatrix}o_{10}\\ o_{20}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}0\\ 0\end {bmatrix}

E_0=\begin {bmatrix}E_{11,0}&E_{12,0}\\E_{21,0}&E_{22,0} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}-\sqrt {\frac {1}{2}}  &  -\sqrt {\frac {1}{2}}\\ \sqrt {\frac {1}{2}}& -\sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{20}=f(z_{10}) de  Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{10}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_A-\frac {3.\pi}{4}\end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix} -\frac {\pi}{4}\end {pmatrix}

-lorsque \sqrt {\frac {1}{8}}\leq x \leq \sqrt {\frac {1}{2}}  alors on pose z_{11}=x-\sqrt {\frac {1}{8}} qui est la premiere composante de Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix}

O_1=\begin {bmatrix}o_{11}\\ o_{21}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}-\frac {1}{4}   \\ \frac {1}{4}\end {bmatrix}

E_1=\begin {bmatrix}E_{11,1}&E_{12,1}\\E_{21,1}&E_{22,1} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  -\sqrt {\frac {1}{2}}\\ \sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{21}=f(z_{11}) de  Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{11}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}-\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}

-lorsque  \sqrt {\frac {1}{2}} \leq x \leq 5.\sqrt {\frac {1}{8}}  alors on pose z_{12}=x-\sqrt {\frac {1}{2}}   qui est la premiere composante de Z_2=\begin {bmatrix}z_{12}\\ z_{22}\end {bmatrix}

O_2=\begin {bmatrix}o_{12}\\ o_{22}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}0\\ \frac {1}{2}\end {bmatrix}

E_2=\begin {bmatrix}E_{11,2}&E_{12,2}\\E_{21,2}&E_{22,2} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  \sqrt {\frac {1}{2}}\\ -\sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{22}=f(z_{12}) de  Z_2=\begin {bmatrix}z_{12}\\ z_{22}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{12}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=3.\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix} \frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}


-lorsque x est dans l'intervalle [5.\sqrt {\frac {1}{8}} ,+\infty [ alors on pose z_{13}=x-5.\sqrt {\frac {1}{8}}   qui est la premiere composante de Z_3=\begin {bmatrix}z_{13}\\ z_{23}\end {bmatrix}

O_3=\begin {bmatrix}o_{13}\\ o_{23}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}\frac {3}{4}\\ -\frac {1}{4}\end {bmatrix}

E_3=\begin {bmatrix}E_{11,3}&E_{12,3}\\E_{21,3}&E_{22,3} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  -\sqrt {\frac {1}{2}}\\ \sqrt {\frac {1}{2}}&\sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{23}=f(z_{13}) de  Z_3=\begin {bmatrix}z_{13}\\ z_{23}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{13}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix} -\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_B-\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}


12ème type de configuration

pour \overline {\theta }_A est dans l'intervalle ]-\pi ,-\frac {\pi}{2}[\cup \{\pi \} ET(logique)  \overline {\theta }_B est dans l'intervalle [-\frac {\pi}{2},0]


on obtiens \gamma =3.\sqrt {\frac {1}{2}}

-lorsque x est dans l'intervalle ]-\infty ,\sqrt {\frac {1}{8}}] alors on pose z_{10}=x qui est la premiere composante de Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix}

O_0=\begin {bmatrix}o_{10}\\ o_{20}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}0 \\ 0\end {bmatrix}

E_0=\begin {bmatrix}E_{11,0}&E_{12,0}\\E_{21,0}&E_{22,0} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}-\sqrt {\frac {1}{2}}  &  \sqrt {\frac {1}{2}}\\ -\sqrt {\frac {1}{2}}& -\sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{20}=f(z_{10}) de  Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{10}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_A+\frac {3.\pi}{4}\end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix} \frac {\pi}{4}\end {pmatrix}

-lorsque \sqrt {\frac {1}{8}}\leq x \leq \sqrt {\frac {1}{2}}  alors on pose z_{11}=x-\sqrt {\frac {1}{8}} qui est la premiere composante de Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix}

O_1=\begin {bmatrix}o_{11}\\ o_{21}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix} -\frac {1}{4}  \\ -\frac {1}{4}\end {bmatrix}

E_1=\begin {bmatrix}E_{11,1}&E_{12,1}\\E_{21,1}&E_{22,1} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  \sqrt {\frac {1}{2}}\\ -\sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{21}=f(z_{11}) de  Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{11}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}-\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}

-lorsque  \sqrt {\frac {1}{2}} \leq x \leq 5.\sqrt {\frac {1}{8}}  alors on pose z_{12}=x-\sqrt {\frac {1}{2}}   qui est la premiere composante de Z_2=\begin {bmatrix}z_{12}\\ z_{22}\end {bmatrix}

O_2=\begin {bmatrix}o_{12}\\ o_{22}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}0 \\ -\frac {1}{2}\end {bmatrix}

E_2=\begin {bmatrix}E_{11,2}&E_{12,2}\\E_{21,2}&E_{22,2} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  -\sqrt {\frac {1}{2}}\\ \sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{22}=f(z_{12}) de  Z_2=\begin {bmatrix}z_{12}\\ z_{22}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{12}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=3.\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix} -\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}-\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}


-lorsque x est dans l'intervalle [5.\sqrt {\frac {1}{8}} ,+\infty [ alors on pose z_{13}=x-5.\sqrt {\frac {1}{8}}   qui est la premiere composante de Z_3=\begin {bmatrix}z_{13}\\ z_{23}\end {bmatrix}

O_3=\begin {bmatrix}o_{13}\\ o_{23}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}\frac {3}{4}\\ \frac {1}{4}\end {bmatrix}

E_3=\begin {bmatrix}E_{11,3}&E_{12,3}\\E_{21,3}&E_{22,3} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  \sqrt {\frac {1}{2}}\\ -\sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{23}=f(z_{13}) de  Z_3=\begin {bmatrix}z_{13}\\ z_{23}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{13}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix} \frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_B+\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}


13ème type de configuration

pour \overline {\theta }_A est dans l'intervalle [-\frac {\pi}{2},0]ET(logique)  \overline {\theta }_B est dans l'intervalle ]-\pi ,-\frac {\pi}{2}[\cup \{\pi \}


on obtiens \gamma =5.\sqrt {\frac {1}{8}}

-lorsque x est dans l'intervalle ]-\infty ,\sqrt {\frac {1}{8}}] alors on pose z_{10}=x qui est la premiere composante de Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix}

O_0=\begin {bmatrix}o_{10}\\ o_{20}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}\frac {1}{4}\\ \frac {1}{4}\end {bmatrix}

E_0=\begin {bmatrix}E_{11,0}&E_{12,0}\\E_{21,0}&E_{22,0} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  \sqrt {\frac {1}{2}}\\ -\sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{20}=f(z_{10}) de  Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{10}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=-\sqrt {\frac {1}{8}}
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_A+\frac {\pi}{4}\end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix} \frac {\pi}{4}\end {pmatrix}

-lorsque \sqrt {\frac {1}{8}}\leq x \leq 3.\sqrt {\frac {1}{8}}   alors on pose z_{11}=x-\sqrt {\frac {1}{8}} qui est la premiere composante de Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix}

O_1=\begin {bmatrix}o_{11}\\ o_{21}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}\frac {1}{2} \\ 0\end {bmatrix}

E_1=\begin {bmatrix}E_{11,1}&E_{12,1}\\E_{21,1}&E_{22,1} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  -\sqrt {\frac {1}{2}}\\ \sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{21}=f(z_{11}) de  Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{11}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{2}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}-\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}-\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}

-lorsque  3.\sqrt {\frac {1}{8}}\leq x \leq \sqrt {2}  alors on pose z_{12}=x-3.\sqrt {\frac {1}{8}} qui est la premiere composante de Z_2=\begin {bmatrix}z_{12}\\ z_{22}\end {bmatrix}

O_2=\begin {bmatrix}o_{12}\\ o_{22}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}1\\ \frac {1}{2}\end {bmatrix}

E_2=\begin {bmatrix}E_{11,2}&E_{12,2}\\E_{21,2}&E_{22,2} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  \sqrt {\frac {1}{2}}\\ -\sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{22}=f(z_{12}) de  Z_2=\begin {bmatrix}z_{12}\\ z_{22}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{12}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix} \frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}-\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}


-lorsque x est dans l'intervalle [\sqrt {2},+\infty [ alors on pose z_{13}=x-\sqrt {2} qui est la premiere composante de Z_3=\begin {bmatrix}z_{13}\\ z_{23}\end {bmatrix}

O_3=\begin {bmatrix}o_{13}\\ o_{23}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}\frac {5}{4}\\ \frac {1}{4}\end {bmatrix}

E_3=\begin {bmatrix}E_{11,3}&E_{12,3}\\E_{21,3}&E_{22,3} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}-\sqrt {\frac {1}{2}}  &  \sqrt {\frac {1}{2}}\\ -\sqrt {\frac {1}{2}}& -\sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{23}=f(z_{13}) de  Z_3=\begin {bmatrix}z_{13}\\ z_{23}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{13}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix} \frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_B+\frac {3.\pi}{4} \end {pmatrix}

je terminerai plus tard pour les quatre derniers types de configurations à faire

Posté par
B055K3Vre 11-04-15 à 18:20

amethyste le romancier des maths

tg(pi/4)=1

Posté par Profil amethystere : trajectoires dans le plan 11-04-15 à 19:26

et c'est terminé avec ce dernier post

14ème type de configuration

pour \overline {\theta }_A est dans l'intervalle ]\frac {\pi}{2},\pi ]ET(logique)  \overline {\theta }_B est dans l'intervalle [\frac {\pi}{2},\pi]


on obtiens \gamma =2.\sqrt {2}

-lorsque x est dans l'intervalle ]-\infty ,\sqrt {\frac {1}{8}}] alors on pose z_{10}=x qui est la premiere composante de Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix}

O_0=\begin {bmatrix}o_{10}\\ o_{20}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}0\\0\end {bmatrix}

E_0=\begin {bmatrix}E_{11,0}&E_{12,0}\\E_{21,0}&E_{22,0} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}-\sqrt {\frac {1}{2}}  &  -\sqrt {\frac {1}{2}}\\ \sqrt {\frac {1}{2}}& -\sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{20}=f(z_{10}) de  Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{10}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_A-\frac {3.\pi}{4}\end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix} -\frac {\pi}{4}\end {pmatrix}

-lorsque \sqrt {\frac {1}{8}}\leq x \leq \sqrt {\frac {1}{2}}   alors on pose z_{11}=x-\sqrt {\frac {1}{8}} qui est la premiere composante de Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix}

O_1=\begin {bmatrix}o_{11}\\ o_{21}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}-\frac {1}{4}\\ \frac {1}{4}\end {bmatrix}

E_1=\begin {bmatrix}E_{11,1}&E_{12,1}\\E_{21,1}&E_{22,1} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  -\sqrt {\frac {1}{2}}\\ \sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{21}=f(z_{11}) de  Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{11}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}-\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}

-lorsque   \sqrt {\frac {1}{2}}\leq x \leq 3.\sqrt {\frac {1}{2}}  alors on pose z_{12}=x-\sqrt {\frac {1}{2}} qui est la premiere composante de Z_2=\begin {bmatrix}z_{12}\\ z_{22}\end {bmatrix}

O_2=\begin {bmatrix}o_{12}\\ o_{22}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}0\\ \frac {1}{2}\end {bmatrix}

E_2=\begin {bmatrix}E_{11,2}&E_{12,2}\\E_{21,2}&E_{22,2} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  \sqrt {\frac {1}{2}}\\ -\sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{22}=f(z_{12}) de  Z_2=\begin {bmatrix}z_{12}\\ z_{22}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{12}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {2}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix} \frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}


-lorsque  3.\sqrt {\frac {1}{2}} \leq x \leq 7.\sqrt {\frac {1}{8}} alors on pose z_{13}=x-3.\sqrt {\frac {1}{2}}   qui est la premiere composante de Z_3=\begin {bmatrix}z_{13}\\ z_{23}\end {bmatrix}

O_3=\begin {bmatrix}o_{13}\\ o_{23}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}1\\ -\frac {1}{2}\end {bmatrix}

E_3=\begin {bmatrix}E_{11,3}&E_{12,3}\\E_{21,3}&E_{22,3} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  -\sqrt {\frac {1}{2}}\\ \sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{23}=f(z_{13}) de  Z_3=\begin {bmatrix}z_{13}\\ z_{23}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{13}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix} -\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix} \frac {\pi}{4} \end {pmatrix}


-lorsque x est dans l'intervalle [ 7.\sqrt {\frac {1}{8}} ,+\infty [ alors on pose z_{14}=x-7.\sqrt {\frac {1}{8}}   qui est la premiere composante de Z_4=\begin {bmatrix}z_{14}\\ z_{24}\end {bmatrix}

O_4=\begin {bmatrix}o_{14}\\ o_{24}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}\frac {5}{4}\\ -\frac {1}{4}\end {bmatrix}

E_4=\begin {bmatrix}E_{11,4}&E_{12,4}\\E_{21,4}&E_{22,4} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}-\sqrt {\frac {1}{2}}  &  -\sqrt {\frac {1}{2}}\\ \sqrt {\frac {1}{2}}& -\sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{24}=f(z_{14}) de  Z_4=\begin {bmatrix}z_{14}\\ z_{24}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{14}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix} -\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_B-\frac {3.\pi}{4} \end {pmatrix}


15ème type de configuration

pour \overline {\theta }_A est dans l'intervalle ]-\pi ,-\frac {\pi}{2}[\cup \{\pi \}ET(logique)  \overline {\theta }_B est dans l'intervalle ]-\pi ,-\frac {\pi}{2}]\cup \{\pi \}


on obtiens \gamma =2.\sqrt {2}

-lorsque x est dans l'intervalle ]-\infty ,\sqrt {\frac {1}{8}}] alors on pose z_{10}=x qui est la premiere composante de Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix}

O_0=\begin {bmatrix}o_{10}\\ o_{20}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}0\\0\end {bmatrix}

E_0=\begin {bmatrix}E_{11,0}&E_{12,0}\\E_{21,0}&E_{22,0} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}-\sqrt {\frac {1}{2}}  &  \sqrt {\frac {1}{2}}\\ -\sqrt {\frac {1}{2}}& -\sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{20}=f(z_{10}) de  Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{10}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_A+\frac {3.\pi}{4}\end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix} \frac {\pi}{4}\end {pmatrix}

-lorsque \sqrt {\frac {1}{8}}\leq x \leq \sqrt {\frac {1}{2}}   alors on pose z_{11}=x-\sqrt {\frac {1}{8}} qui est la premiere composante de Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix}

O_1=\begin {bmatrix}o_{11}\\ o_{21}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}-\frac {1}{4}\\-\frac {1}{4}\end {bmatrix}

E_1=\begin {bmatrix}E_{11,1}&E_{12,1}\\E_{21,1}&E_{22,1} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  \sqrt {\frac {1}{2}}\\ -\sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{21}=f(z_{11}) de  Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{11}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}-\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}

-lorsque  \sqrt {\frac {1}{2}} \leq x \leq 3.\sqrt {\frac {1}{2}}   alors on pose z_{12}=x-\sqrt {\frac {1}{2}} qui est la premiere composante de Z_2=\begin {bmatrix}z_{12}\\ z_{22}\end {bmatrix}

O_2=\begin {bmatrix}o_{12}\\ o_{22}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}0\\  -\frac {1}{2}\end {bmatrix}

E_2=\begin {bmatrix}E_{11,2}&E_{12,2}\\E_{21,2}&E_{22,2} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  -\sqrt {\frac {1}{2}}\\ \sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{22}=f(z_{12}) de  Z_2=\begin {bmatrix}z_{12}\\ z_{22}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{12}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {2}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix} -\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}-\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}


-lorsque  3.\sqrt {\frac {1}{2}} \leq x \leq 7.\sqrt {\frac {1}{8}} alors on pose z_{13}=x-3.\sqrt {\frac {1}{2}}   qui est la premiere composante de Z_3=\begin {bmatrix}z_{13}\\ z_{23}\end {bmatrix}

O_3=\begin {bmatrix}o_{13}\\ o_{23}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}1\\ \frac {1}{2}\end {bmatrix}

E_3=\begin {bmatrix}E_{11,3}&E_{12,3}\\E_{21,3}&E_{22,3} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  \sqrt {\frac {1}{2}}\\ -\sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{23}=f(z_{13}) de  Z_3=\begin {bmatrix}z_{13}\\ z_{23}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{13}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix} \frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix} -\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}


-lorsque x est dans l'intervalle [7.\sqrt {\frac {1}{8}},+\infty [ alors on pose z_{14}=x- 7.\sqrt {\frac {1}{8}} qui est la premiere composante de Z_4=\begin {bmatrix}z_{14}\\ z_{24}\end {bmatrix}

O_4=\begin {bmatrix}o_{14}\\ o_{24}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}\frac {5}{4}\\ \frac {1}{4}\end {bmatrix}

E_4=\begin {bmatrix}E_{11,4}&E_{12,4}\\E_{21,4}&E_{22,4} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}-\sqrt {\frac {1}{2}}  &  \sqrt {\frac {1}{2}}\\ -\sqrt {\frac {1}{2}}& -\sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{24}=f(z_{14}) de  Z_4=\begin {bmatrix}z_{14}\\ z_{24}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{14}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix} \frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_B+\frac {3.\pi}{4} \end {pmatrix}


16ème type de configuration

pour \overline {\theta }_A est dans l'intervalle ]-\pi ,-\frac {\pi}{2}[\cup \{\pi \}ET(logique)  \overline {\theta }_B est dans l'intervalle [\frac {\pi}{2},\pi]


on obtiens \gamma =1+\sqrt {2}

-lorsque x est dans l'intervalle ]-\infty ,\sqrt {\frac {1}{8}}] alors on pose z_{10}=x qui est la premiere composante de Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix}

O_0=\begin {bmatrix}o_{10}\\ o_{20}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}0\\0\end {bmatrix}

E_0=\begin {bmatrix}E_{11,0}&E_{12,0}\\E_{21,0}&E_{22,0} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}-\sqrt {\frac {1}{2}}  &  \sqrt {\frac {1}{2}}\\ -\sqrt {\frac {1}{2}}& -\sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{20}=f(z_{10}) de  Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{10}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_A+\frac {3.\pi}{4}\end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix} \frac {\pi}{4}\end {pmatrix}

-lorsque \sqrt {\frac {1}{8}}\leq x \leq \sqrt {\frac {1}{2}}   alors on pose z_{11}=x-\sqrt {\frac {1}{8}} qui est la premiere composante de Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix}

O_1=\begin {bmatrix}o_{11}\\ o_{21}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}-\frac {1}{4}\\-\frac {1}{4} \end {bmatrix}

E_1=\begin {bmatrix}E_{11,1}&E_{12,1}\\E_{21,1}&E_{22,1} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  \sqrt {\frac {1}{2}}\\ -\sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{21}=f(z_{11}) de  Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{11}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}-\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}

-lorsque  \sqrt {\frac {1}{2}}  \leq x \leq 1+\sqrt {\frac {1}{2}}   alors on pose z_{12}=x-\sqrt {\frac {1}{2}}   qui est la premiere composante de Z_2=\begin {bmatrix}z_{12}\\ z_{22}\end {bmatrix}

O_2=\begin {bmatrix}o_{12}\\ o_{22}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}0\\  -\frac {1}{2}\end {bmatrix}

E_2=\begin {bmatrix}E_{11,2}&E_{12,2}\\E_{21,2}&E_{22,2} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}1  &  0\\ 0& 1 \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{22}=f(z_{12}) de  Z_2=\begin {bmatrix}z_{12}\\ z_{22}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{12}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=1
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix} 0 \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}


-lorsque  1+\sqrt {\frac {1}{2}} \leq x \leq 1+3.\sqrt {\frac {1}{8}} alors on pose z_{13}=x-1-\sqrt {\frac {1}{2}} qui est la premiere composante de Z_3=\begin {bmatrix}z_{13}\\ z_{23}\end {bmatrix}

O_3=\begin {bmatrix}o_{13}\\ o_{23}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}1\\ -\frac {1}{2}\end {bmatrix}

E_3=\begin {bmatrix}E_{11,3}&E_{12,3}\\E_{21,3}&E_{22,3} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  -\sqrt {\frac {1}{2}}\\ \sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{23}=f(z_{13}) de  Z_3=\begin {bmatrix}z_{13}\\ z_{23}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{13}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix} 0 \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix} \frac {\pi}{4} \end {pmatrix}


-lorsque x est dans l'intervalle [ 1+3.\sqrt {\frac {1}{8}} ,+\infty [ alors on pose z_{14}=x-1-3.\sqrt {\frac {1}{8}}   qui est la premiere composante de Z_4=\begin {bmatrix}z_{14}\\ z_{24}\end {bmatrix}

O_4=\begin {bmatrix}o_{14}\\ o_{24}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}\frac {5}{4}\\ -\frac {1}{4}\end {bmatrix}

E_4=\begin {bmatrix}E_{11,4}&E_{12,4}\\E_{21,4}&E_{22,4} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}-\sqrt {\frac {1}{2}}  &  -\sqrt {\frac {1}{2}}\\ \sqrt {\frac {1}{2}}& -\sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{24}=f(z_{14}) de  Z_4=\begin {bmatrix}z_{14}\\ z_{24}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{14}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix} -\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_B-\frac {3.\pi}{4} \end {pmatrix}


17ème type de configuration

pour \overline {\theta }_A est dans l'intervalle ]\frac {\pi}{2},\pi ]ET(logique)  \overline {\theta }_B est dans l'intervalle ]-\pi ,-\frac {\pi}{2}]\cup \{\pi \}


on obtiens \gamma =1+\sqrt {2}

-lorsque x est dans l'intervalle ]-\infty ,\sqrt {\frac {1}{8}}] alors on pose z_{10}=x qui est la premiere composante de Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix}

O_0=\begin {bmatrix}o_{10}\\ o_{20}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}0\\ 0\end {bmatrix}

E_0=\begin {bmatrix}E_{11,0}&E_{12,0}\\E_{21,0}&E_{22,0} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}-\sqrt {\frac {1}{2}}  &  -\sqrt {\frac {1}{2}}\\ \sqrt {\frac {1}{2}}& -\sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{20}=f(z_{10}) de  Z_0=\begin {bmatrix}z_{10}\\ z_{20}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{10}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_A-\frac {3.\pi}{4}\end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix} -\frac {\pi}{4}\end {pmatrix}

-lorsque \sqrt {\frac {1}{8}}\leq x \leq \sqrt {\frac {1}{2}}   alors on pose z_{11}=x-\sqrt {\frac {1}{8}} qui est la premiere composante de Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix}

O_1=\begin {bmatrix}o_{11}\\ o_{21}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}-\frac {1}{4}\\ \frac {1}{4}\end {bmatrix}

E_1=\begin {bmatrix}E_{11,1}&E_{12,1}\\E_{21,1}&E_{22,1} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  -\sqrt {\frac {1}{2}}\\ \sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{21}=f(z_{11}) de  Z_1=\begin {bmatrix}z_{11}\\ z_{21}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{11}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix}\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}-\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}

-lorsque   \sqrt {\frac {1}{2}} \leq x \leq  1+\sqrt {\frac {1}{2}}   alors on pose z_{12}=x- \sqrt {\frac {1}{2}}   qui est la premiere composante de Z_2=\begin {bmatrix}z_{12}\\ z_{22}\end {bmatrix}

O_2=\begin {bmatrix}o_{12}\\ o_{22}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}0\\  \frac {1}{2}\end {bmatrix}

E_2=\begin {bmatrix}E_{11,2}&E_{12,2}\\E_{21,2}&E_{22,2} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}1  &  0\\ 0& 1 \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{22}=f(z_{12}) de  Z_2=\begin {bmatrix}z_{12}\\ z_{22}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{12}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=1
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix} 0 \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}-\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}


-lorsque  1+\sqrt {\frac {1}{2}}  \leq x \leq 1+3.\sqrt {\frac {1}{8}} alors on pose z_{13}=x-1-\sqrt {\frac {1}{2}}   qui est la premiere composante de Z_3=\begin {bmatrix}z_{13}\\ z_{23}\end {bmatrix}

O_3=\begin {bmatrix}o_{13}\\ o_{23}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}1\\ \frac {1}{2}\end {bmatrix}

E_3=\begin {bmatrix}E_{11,3}&E_{12,3}\\E_{21,3}&E_{22,3} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}\sqrt {\frac {1}{2}}  &  \sqrt {\frac {1}{2}}\\ -\sqrt {\frac {1}{2}}& \sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{23}=f(z_{13}) de  Z_3=\begin {bmatrix}z_{13}\\ z_{23}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{13}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix} 0 \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix} -\frac {\pi}{4} \end {pmatrix}


-lorsque x est dans l'intervalle [1+3.\sqrt {\frac {1}{8}} ,+\infty [ alors on pose z_{14}=x-1-3.\sqrt {\frac {1}{8}}   qui est la premiere composante de Z_4=\begin {bmatrix}z_{14}\\ z_{24}\end {bmatrix}

O_4=\begin {bmatrix}o_{14}\\ o_{24}\end {bmatrix} =\begin {bmatrix}\frac {5}{4}\\ \frac {1}{4}\end {bmatrix}

E_4=\begin {bmatrix}E_{11,4}&E_{12,4}\\E_{21,4}&E_{22,4} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix}-\sqrt {\frac {1}{2}}  &  \sqrt {\frac {1}{2}}\\ -\sqrt {\frac {1}{2}}& -\sqrt {\frac {1}{2}} \end {bmatrix}

pour la deuxième composante    z_{24}=f(z_{14}) de  Z_4=\begin {bmatrix}z_{14}\\ z_{24}\end {bmatrix} on applique la fonction f(z_{14}) avec les paramètres

p_1=0
p_2=\sqrt {\frac {1}{8}}
q_1=0
q_2=0
q^{\prime}_1=tg\begin {pmatrix} \frac {\pi}{4} \end {pmatrix}
q^{\prime}_2=tg\begin {pmatrix}\overline {\theta }_B+\frac {3.\pi}{4} \end {pmatrix}


c'est terminé!

Posté par
B055K3Vre 15-04-15 à 15:10

ça fait un sacré devoir de vacances ...


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